高等代数多项式练习题解答.doc

PAGE 8 多项式习题解答 1.用除，求商与余式. 1） . 2） . 2.适合什么条件时，有 1） 当且仅当时. 本题也可用待定系数法求解.当时，用去除，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为.于是有 . 因此有. 2） 由带余除法可得 当且仅当时.即 ，即或 本题也可用待定系数法求解.当时，用去除，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为.于是有 比较系数可得消去可得 或 3.求除的商与余式. 1） 解：运用综合除法可得 商为，余式为 2）. 解:运用综合除法得: 商为,余式为. 4.把表成的方幂和，即表示成的形式. 1）； 2） 3） 分析：假设为次多项式，令 即为除所得的余式，商为.类似可得为除商所得的余式，依次继续即可求得展开式的各项系数. 解：1）解法一：应用综合除法得. . 解法二：把表示成，然后用二项式展开 2）仿上可得 . 3）因为 5.求与的最大公因式 1） 解法一：利用因式分解 因此最大公因式为. 解法二：运用辗转相除法得 因此最大公因式为. 2）. 解：运用辗转相除法得（注意缺项系数补零） 3） ， 因此 6.求使 1） 解：运用辗转相除法得： 因此.且有 ， 于是 . 2） 解：运用辗转相除法得： 因此.且有 ， 于是 . 3） 解：运用辗转相除法得： 因此且有 ， 于是 . 7.设的最大公因式是一个二次多项式，求的值. 解：运用带余除法有 由题意可得，即为的最大公因式.因此有.进一步 . 要使为的最大公因式的充要条件是即 解得 8.证明：如果且为与的一个组合，那么是与的一个最大公因式. 证明：由可知是与的一个公因式.下证与的任意一个公因式是的因式. 由为与的一个组合可知，存在多项式，使得 . 设是与的任意一个公因式，则.故 即因此是与的一个最大公因式. 9.证明：的首项系数为1）. 证明：存在多项式，使得 . 所以有.即是 与的一个组合.显然有 . 从而.由第8题结果是与的一个最大公因式.又是首项系数为1的，因此 10.如果，不全为零，证明. 证明：由,不全为零可得其最大公因式不为零多项式，即又存在多项式，使得 . 于是 . 因此. 11.如果，不全为零，且 ， 那么. 证明：由,不全为零可得由 有 于是. 12.证明：如果那么 证法一、由条件可得存在多项式； 使得 ，. 两式相乘得 . 因此有 证法二、反证法证明.显然若则存在不可约多项式，使得为与的公因式.因此有且.由的不可约性有或.若，则为与的一个公因式，与相矛盾.若，则为与的一个公因式，与相矛盾.因此不成立，即有 13.设都是多项式，而且 求证：. 证明：由，反复利用第12题结果可得 . 类似可得 再反复利用12题结果可得. 14.证明：如果那么 证明：方法一.由存在多项式使得 . 从而有 因此有由12题结果结论成立. 方法二：用反证法.若则存在不可约多项式，使得为与的公因式.即 且. 由的不可约性及，有或.若，又，因此有，即，也即为与的一个公因式，与相矛盾.类似可得当时也与已知矛盾.所以 15.求下列多项式的公共根： 解法一：利用因式分解可得 因此.与的公共根为 解法二：运用辗转相除法求出与的最大公因式，最大公因式的根即为所求的公共根. 因此.与的公共根为 16.判别下列多项式有无重因式： 1） 解： 运用辗转相除法可得因此为的三重因式. 解法二：试根可得2为的根 . 因此为的三重因式. 2) 解：.故无重因式. 17.求值使有重根. 解法一：要使有重根，则. 当即时 ， 因此1为的三重根. 当，即时，，为的二重根. 解法二：设. 因此有 由第一个方程有，代人第三个方程有即 .因此有 或 即当时1为的三重根；当时，为的二重根. 18.求多项式有重根的条件. 解：令.显然当时，0为的三重根.当