数值分析练习题(含答案).doc

数值分析习题参考解答 江世宏编 PAGE PAGE 1 第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：， 故具有3位有效数字。 2 具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：，欲使其近似值具有4位有效数字，必需 ，，即 即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。 3 已知，是经过四舍五入后得到的近似值，问，有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：，，而， 故至少具有2位有效数字。 故至少具有2位有效数字。 4 设，的相对误差为，求的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知，则误差为 则相对误差为 5测得某圆柱体高度的值为，底面半径的值为，已知，，求圆柱体体积的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算） 解： 绝对误差限为 相对误差限为 6 设的相对误差为,求的相对误差。（函数误差的计算） 解：， 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为，问度量半径时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算） 解：球体积为 ， 欲使，必须 。 8 设，求证： （1） （2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择） 解： 如果初始误差为，若是向前递推，有 可见，初始误差的绝对值被逐步地扩大了。 如果是向后递推，其误差为 可见，初始误差的绝对值被逐步减少了。 第二章 插值法 姓名 学号 班级 习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。 1 已知，求的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值） 解法一（待定系数法）：设，由插值条件，有 解得：。 故 。 解法二（基函数法）：由插值条件，有 2 已知，用线性插值求的近似值。（拉格朗日线性插值） 解：由插值节点与被插函数，可知，，，其线性插值函数为 的近似值为。 3 若为互异节点，且有 试证明。（拉格朗日插值基函数的性质） 解：考虑辅助函数，其中，，。 是次数不超过的多项式，在节点（）处，有 这表明，有n+1个互异实根。 故，从而对于任意的均成立。 4 已知，用抛物线插值计算的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 解：由插值条件，其抛物线插值函数为 将代入，计算可得：。 其余项为： 其中， 故误差的上界为： 。 5 用余弦函数在，，三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式, 并近似计算及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗日二次插值） 解：由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为 绝对误差为： 相对误差为： 余项为： ，其中， 其余项的上界为： 比较可知，实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些。 6 已知函数值，求函数的四阶均差和二阶均差。（均差的计算） 解：采用列表法来计算各阶均差，有 x y 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 0 6 1 10 4 3 46 18 14/3 4 82 36 6 1/3 6 212 65 29/3 11/15 1/15 从表中可查得：。 x y 一阶均差 二阶均差 4 82 1 10 72/3 3 46 18 6 故。其实，根据均差的对称性，，该值在第一个表中就可以查到。 7 设求之值，其中，而节点互异。（均差的计算） 解：由均差可以表示成为函数值的线性组合，有 而 ，故。 8 如下函数值表 0 1 2 4 1 9 23 3 建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造） 解： 先构造均差表 x f(x) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 0 1 1 9 8 2 23 14 3 4 3 -10 -8 -11/4 故 。 9求一个次数小于等于三次多项式，满足如下插值条件：，，，。（插值多项式的构造） 解法一（待定系数法）：设，则 ，由插值条件，有 解得：。 故 解法二（带重节点的均差法）：据插值条件，造差商表 x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商 1 2 2 4 2 2 4 3 1 3 12 8 5 2 故 10 构造一个三次多项式，使它满足条件（埃尔米特插值）。 解：设， 利用插值条件，有 解得：。 11 设。(1)试求在上的三次埃尔米特插值多项式，使得，以升幂形式给出。(2)写出余项的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。 解：，，，， 设， 解得：，，，。 故 。 ，其中，。 12 若，试证明： （插值余项的应用） 解：以为插值条件，作线