2012年北京各区二模试题汇编导数以及应用打印.doc

PAGE \* MERGEFORMAT 2 2012年北京市各区二模试题汇编--导数及其应用 一填空选择 （2012年东城二模理科）（8）定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为 （A） （B） （C） （D） （2012年海淀二模文理科）8、点是曲线上的一个动点，曲线在点处的切线与轴、轴分别交于两点，点是坐标原点. 给出三个命题：①；②的面积为定值；③曲线上存在两点，使得为等腰直角三角形．其中真命题的个数是 （A）１ （B）２ 　　　（C）３ 　 （D）０ （2012年丰台二模文科）5．函数 (A) 是偶函数，且在上是减函数 (B) 是偶函数，且在上是增函数 (C) 是奇函数，且在上是减函数 (D) 是奇函数，且在上是增函数 （2012年丰台二模理科）3．由曲线与y=x，x=4以及x轴所围成的封闭图形的面积是 (A) (B) (C) (D) （2012年房山二模文科）8．已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是( ) (A) ∪ (B) ∪ (C) ∪ (D) ∪ 二解答题 （2012年东城二模文科）（18）（本小题共13分） 已知函数. （Ⅰ）若，求在处的切线方程； （Ⅱ）若在上是增函数，求实数的取值范围 （18）（共13分） 解：（Ⅰ）由，，， ………1分 所以. ……3分 又， 所以所求切线方程为即. 5分 （Ⅱ）由已知，得. 因为函数在上是增函数， 所以恒成立，即不等式 恒成立.………………9分 整理得. 令 ……11分 的变化情况如下表： + 极小值 由此得的取值范围是. ………13分 （2012年东城二模理科）（19）（本小题共13分） 已知函数（）． （Ⅰ）试讨论在区间上的单调性； （Ⅱ）当时，曲线上总存在相异两点，，使得曲线在点，处的切线互相平行，求证：. （19）（共13分） （Ⅰ）解：由已知， . ……2分 由，得，. ………4分 因为，所以,且． 所以在区间上，；在区间上，. 故在上单调递减，在上单调递增． ……6分 （Ⅱ）证明：由题意可得，当时，（，且）. 即 ， 所以，. ……8分 因为，且，所以恒成立， 所以，又， 所以，整理得. ……11分 令，因为，所以在上单调递减， 所以在上的最大值为， 所以. ……………13分 （2012年西城二模理科）19．（本小题满分14分） 已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围． 19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：当时，，． ………………2分 由 ， 得曲线在原点处的切线方程是．…………3分 （Ⅱ）解：． ………………4分 ① 当时，． 所以在单调递增，在单调递减． ………………5分 当，． ② 当时，令，得，，与的情况如下： ↘ ↗ ↘ 故的单调减区间是，；单调增区间是． ………7分 ③ 当时，与的情况如下： ↗ ↘ ↗ 所以的单调增区间是；单调减区间是，． ………………9分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）得， 时不合题意． ………………10分 当时，由（Ⅱ）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值． 设为的零点，易知，且．从而时，；时，． 若在上存在最小值，必有，解得． 所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．…………12分 当时，由（Ⅱ）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值． 若在上存在最大值，必有，解得，或． 所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是． 综上，的取值范围是． ………………14分 （2012年海淀二模文科）18、（本小题满分13分） 已知函数（，）. （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）当时，若对任意，有成立，求实数的最小值. 18、（本小题满分13分） 解：.令，解得或. …………2分 （Ⅰ）当时，，随着