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18.(本题满分15分)椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,离心率e = eq \f(\r(2),2),椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且.
(1)求椭圆方程;
(2)若,求m的取值范围.
解:(1)设C:eq \f(y2,a2)+eq \f(x2,b2)=1(ab0),设c0,c2=a2-b2,由条件知a-c=eq \f(\r(2),2),eq \f(c,a)=eq \f(\r(2),2),
∴a=1,b=c=eq \f(\r(2),2),
故C的方程为:y2+eq \f(x2,\f(1,2))=1 5分
(2)由eq \x\to(AP)=λeq \x\to(PB)得eq \x\to(OP)-eq \x\to(OA)=λ(eq \x\to(OB)-eq \x\to(OP)),(1+λ)eq \x\to(OP)=eq \x\to(OA)+λeq \x\to(OB),
∴λ+1=4,λ=3 --------7
设l与椭圆C交点为A(x1,y1),B(x2,y2)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y=kx+m,2x2+y2=1)) 得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0
Δ=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)0
x1+x2=eq \f(-2km,k2+2), x1x2=eq \f(m2-1,k2+2) 11分
∵eq \x\to(AP)=3eq \x\to(PB) ∴-x1=3x2 ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1+x2=-2x2,x1x2=-3x\o\al(2,2)))
消去x2,得3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴3(eq \f(-2km,k2+2))2+4eq \f(m2-1,k2+2)=0
整理得4k2m2+2m2-k2-2=0
m2=eq \f(1,4)时,上式不成立;m2≠eq \f(1,4)时,k2=eq \f(2-2m2,4m2-1),
因λ=3 ∴k≠0 ∴k2=eq \f(2-2m2,4m2-1)0,∴-1m-eq \f(1,2) 或 eq \f(1,2)m1
容易验证k22m2-2成立,所以(
即所求m的取值范围为(-1,-eq \f(1,2))∪(eq \f(1,2),1) ……16分
19.(本题满分16分)已知数列的首项,前项和为,且、、分别是直线上的点A、B、C的横坐标,,设
。
⑴ 判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;
⑵ 设,证明:。
解:⑴由题意得 ----------4分
数列是以为首项,以2为公比的等比数列。 ………8分
[则()]
⑵由及得
, ------------ 11分
则 ---------13分
…16分
20.(本题满分18分)对于函数,若存在,使成立,则称为的不动点。如果函数有且仅有两个不动点、,且。
(1)试求函数的单调区间;
(2)点从左到右依次是函数图象上三点,其中求证:⊿是钝角三角形;
解:(1)设
∴ ∴
由
又∵ ∴
∴ …… 6分
于是
由得或; 由得或
故函数的单调递增区间为和,
单调减区间为和 10分
(2)证明:据题意且x1x2x3,
由(1)知f (x1)f (x2)f (x3),
…………………8分
即⊿是钝角三角
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