复合函数单调性例讲.doc

PAGE PAGE 1 复 合 函 数 的 单 调 性 例 讲 山西忻州五寨一中 摄爱忠 高考主要考查：①求复合函数的单调区间；②讨论含参复合函数的单调性或求参数范围问题． ①“中间变量”是形成问题转化的桥梁. ②函数思想是解决问题的关键． 复合函数定义： 设定义域为Ａ，的值域为Ｂ，若，则关于的函数叫做函数 与的复合函数，叫中间变量． 外函数：； 内函数： 复合函数的单调性：同增异减. 2. 若 则 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 3.求解复合函数的单调性的步骤如下： (1)求复合函数定义域； (2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)； (3)判断每个常见函数的单调性； (4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围； (5)求出复合函数的单调性。 题型1：内外函数都只有一种单调性的复合型. 例 题1： ◇已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是( ) (A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).2，+∞) 解：设y= logau，u=2-ax，∵a是底数，所以a0， ∵ 函数y=loga u在u∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax在区间x∈[0,1]上是减函数， ∴ y= logau是u∈(0, +∞)上的增函数，故a1，还要使2-ax0在区间上总成立， 令g(x)= 2-ax，由{eq \s(g(0)=2-a·00,g(1)=2-a·10) ，解得a2，∴1a2，故选(B). 变式训练： 已知函数，求其单调区间. 【分析】：由，得 ，即. 而函数在上是增函数，函数在上是减函数， 故函数在上是减函数. 题型2：外函数有一种单调性内函数有两种单调性的复合型. 例 题2： ◇求函数y=log0.5(x2+4x+3)的单调区间. 解：令y= log0.5u，u= x2+4x+3，由x2+4x+30知函数的定义域为， 因y= log0.5u在u∈(0,+∞)上是减函数，而u= x2+4x+4在x∈(-∞，-3)上是减函数， 在(-1，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知， 函数y=log0.5(x2+4x+4) 在x∈(-∞，-3)上是增函数；在x∈(-1，+ ∞)上是减函数. 变式训练： ◇讨论函数 的单调性。 解：函数定义域为R. 令u=x2-4x+3，y=0.8u。 指数函数在u∈(-∞，+∞)上是减函数， u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数， ∴ 函数在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。 这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是R，无需转化为自变量的取值范围。 题型3：外函数有两种单调性内函数有一种单调性的复合型. 例 题3： ◇ 函数y=2sin(eq \f(π,4) -2x)的单调递增区间是( ) (A). (B). (C). (D). 解：令y=sinu，u=eq \f(π,4) -2x，∵u=eq \f(π,4) -2x 是R上的减函数，而y=sinu在u ∈[2kπ+ eq \f(π,2)，2kπ+eq \f(3π,2)] (k∈Z)上单调递减， 根据函数单调性的复合规律，令2kπ+ eq \f(π,2)≤eq \f(π,4) -2x≤2kπ+eq \f(3π,2) 得: 当k=0时， ， 故选(A) . 例 题4： ◇讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性. 解：显然函数定义域为(0，+∞). 令 u=log2x，y=u2+u ∵ u=log2x在(0，+∞)上是增函数， y=u2+u在(-∞，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数 【注意】:(-∞，]及[，+∞)是u的取值范围. 令，则0＜x≤， (u≥ log2x≥ x≥) 所以y=(log2x)2+log2x在(0，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数。 用数轴标单调区间如下： ①求复合函数的定义域；②求内函数在定义域内的单调区间；③求外函数的单调 区间；④求外函数对内函数变量所对应的单调区间；⑤在数轴上标出②④按“同增异减”写出复合函数的单调区间. 变式训练： ◇求函数的单调区间． 【解析】（1）此函数的定义域：； （2）此函数是由函数复合所得； （3）内层函数的单调区间：函数在单调递减； （4）外层函数的