2015中考数学(北师大版)图形的相似讲义.docVIP

PAGE PAGE PAGE 6 第四章 图形的相似 一 本章知识点 1、线段的比：在同一单位长度下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比。 2、成比例线段：对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的长度的比与另外两条线段的长 度的比相等， 即 （或a：b=c：d），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。 注：在ab=cd中，a叫做第一比例项，b叫做第二比例项，c叫做第三比例项，d叫做第四比例项。 如果a∶b=c∶d，那么ad=cb。特别地，若a∶b=b∶d，即b2=ad，则b叫a，d的比例中项， 3、基本性质：ad=cb 比例式与乘积式互化： 如果a:b=c:d，那么ad=bc；反之亦成立；如果a:b=b:c，那么b2=ac；反之亦成立 *等积式先变4个比例式→上下颠倒或左右互换 ↓ ①如果ad=bc，那么； ②更换内项； ↓ ③更换外项； ④同时更换内外项； 4、合比定理： (在分子上进行加或减)（了解） 如果，那么① ② ①÷②得 5、等比定理： 6、比例尺：比例尺＝，即图上距离＝实际距离×比例尺。 7、平行线分三角形两边成比例 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例. 【如图，∵DE∥BC，∴ 及其变形书写】 黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且满足AC2=AB?BC(或BC2=AC?AB)，则点 C即为线段AB的黄金分割点，AC:AB=BC:AC(或BC:AB)即为黄金比. 9、相似三角形的判定 预备定理：平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边的延长线)，所得的三角形与原三角形相似. 应用格式：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC 作EF∥AB，证口BDEF，∴DE=BF； 判定定理1: 两角对应相等，两个三角形相似. 判定定理2：三边对应成比例，两三角形相似. 判定定理3：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 判定结论4：斜边、直角边对应成比例，两直角三角形相似. 10、相似三角形的性质 ⑴相似三角形的对应角相等，对应边成比例； ⑵相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比； ⑶相似三角形周长的比等于相似比； ⑷相似三角形面积的比等于相似比的平方. 注：相似多边形有类似的性质 11、利用相似三角形测高 1. 利用阳光下的影子测物体的高度 测量工具：皮尺 测量方法：量出观侧者的身高以及同一时刻观测者和被测物体的影子的长度。 测量数据：观测者身高、影长和被测物体的影长 测量原理：由太阳光线是平行线得出两个直角三角形相似。 优点：除观测者外不需要其它工具，简单易行，好操作。 缺点：受太阳光的限制，只能在有太阳光时进行操作。 2. 利用标杆测物体的高度 测量工具：标杆（高度要高于观测者的身高），皮尺。 测量方法：观测者的眼睛要与标杆的顶端和被测物体的顶端在一条直线上。 测量数据：观测者的眼睛到地面的距离、观测者与标杆的距离、标杆与被测物体的距离。 测量原理：由标杆和被测物体平行得出两个直角三角行相似。 优点：只需要标杆和观测者即可，不受太阳光的限制。 缺点：计算量大。 3. 利用镜子的反射测物体的高度 测量工具：小镜子、皮尺。 测量方法：在镜子上做标记，使被测物体顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合。 测量数据：观测者的眼睛与地面的距离、观测者和镜子的距离、镜子和被测物体的距离。 测量原理：由入射角等于反射角得出两个直角三角形相似。 优点：只需要镜子和观测者即可，不受太阳光的限制。 缺点：操作过程稍显复杂。 12、位似：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。 13、图形的放大（缩小） 所谓图形的放大与缩小，实际上就是画原图形的相似图形。方法有：位似图形法、平行线法、测量法、格点法等。 位似图形法：1.确定位似中心；2.连接并延长对应点；3.连接关键点。 14、平面直角坐标系中的图形的位似 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为∣k∣。 15、证明等积式(比例式)策略 1、直接法：通过证明三角形相似 观察比例式分子中两条线段(三个顶点字母)与分母中两条线段是否在两个(相似)三角形 中；变化：等号同侧的分子与分母组成三角形 2、间接法： ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积