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第十一章 三角形 复习课 三角形 与三角形有关的线段 三角形内角和：180° 三角形外角和：360° 三角形的边：三边关系定理 高线 中线：把三角形面积平分 角平分线 与三角形有关的角 内角与外角关系 三角形的分类 多边形 定义 多边形的内外角和 内角和：（n-2) ×180 ° 外角和：360 ° 对角线 多边形转化为三角形和 四边形的重要辅助线 正多边形 内角= ;外角= 知识网络 【例1】已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？ 【解】 由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边得: 8-3a8+3, ∴ 5 a11. 又∵第三边长为奇数, ∴ 第三条边长为 7cm或9cm. 【归纳拓展】三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三条线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任意两边的和都大于第三边，也可以直接检查较小两边之和是否大于第三边.三角形的三边关系在求线段的取值范围以及在证明线段的不等关系中有着重要的作用. 【配套训练】以线段3、4、x-5为边组成三角形，那么x的取值范围是 . 6x12 专题二 三角形内角和及其相关定理 【例2】如图，求证：∠A+∠B+∠C=∠ADC. A B C D 【证明】如图，作射线BD. E ） ） ） ） 1 2 3 4 根据三角形外角的性质，则有∠3= ∠1+ ∠A ① ；∠4= ∠2+ ∠C ②.由①+ ②得∠3+ ∠4= ∠1+ ∠A + ∠2+ ∠C ，故∠A+∠B+∠C=∠ADC获证. A B C D A B C D 其他证法:如下图 E 证法二 证法三 【归纳拓展】这是一个常见的几何图形模型，因为它像飞镖，故称之为“飞镖模型”.它利用三角形外角的性质推出四角之间的数量关系，即∠A+∠B+∠C=∠ADC.运用这一结论，能提高我们解题的准确性和速度. 【配套训练】如图所示，∠B＝45°，∠A=30°,∠C＝25°， 则∠ADC的度数是 . A B C D 100 ° 【例3】已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ，求这个多边形的边数. 【解】 设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为4x,则x+4x=180°,解得 x=36°. ∴边数n=360°÷36°=10. 【归纳拓展】在多边形的有关求边数或内角、外角度数的问题中，要注意内角与外角之间的转化，以及定理的运用.尤其在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数. 【配套训练】一个正多边形的每一个内角都等于120 °，则其边数是 . 6 【解析】 因为该多边形的每一个内角都等于120度，所以它的每一个外角都等于60 °.所以边数是6. 方程思想 【例4】如图，在△ABC中， ∠C=∠ABC,BE ⊥AC, △BDE是等边三角形，求∠C的度数. A B C E D 【解】 设∠C=x °,则∠ABC=x°,因为△BDE是等边三角形，所以∠ABE=60°,所以∠ EBC=x°-60°.在△BCE中，根据三角形内角和定理， 得90°+x°+x°-60°=180°,解得x=75,所以∠C=75 °. 【归纳拓展】在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解. 【配套训练】如图，△ABC中，BD平分∠ABC, ∠1=∠2, ∠3= ∠C,求∠1的度数. A B C D ) ) ) ) 2 4 1 3 【答案】 设∠ 1=x,根据题意可得∠2=x.因为∠3= ∠1+ ∠2， ∠4= ∠2，所以∠3=2x, ∠4=x，又因为∠3= ∠C，所以∠C=2x. 在△ABC中，根据三角形内角和定理，得 x+2x+2x=180 °,解得x=36°,所以∠1=36 °. 【解题小结】这种顶角为36度的等腰三角形，我们发现只要做底角的平分线它就会得到新的这种等腰三角形，我们称其为“黄金等腰三角形. 分类讨论思想 【例5】 已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则 三角形的周长是　　　　　． 【解析】 由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要分两种情况讨论：第一种10为腰，则6为底，此时周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时周长为22. 26或22 【配套训练】已知等腰三角形的两边长分别为10 和4 ，则 三角形的周长是　　　　　． 24 【易错提示】等腰三角形没有指明腰和底时要分类讨论，但也别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节. 化归思想 A B C D O 如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重