2013年-2017年全国高中数学联赛试题与答案.pdfVIP

2017 年全国高中数学联赛A 卷 一试 一、填空题 1.设 是定义在 上的函数，对任意实数 有 .又当 f (x) R x f (x +3) ⋅f (x −4) −1 0 ≤x 7 时，f (x) log2 (9 −x) ，则f (−100) 的值为__________. 2.若实数 满足x 2 +2 cos y 1，则 的取值范围是__________. x , y x −cos y 2 2 x y 3.在平面直角坐标系 中，椭圆 的方程为: + 1 ， 为 的上焦点， 为 的 xOy C F C A C 9 10 右顶点， 是 上位于第一象限内的动点，则四边形 的面积的最大值为__________. P C OAPF 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥 中， ， ，过 的平面 将其体积平分，则棱 与 P −ABC AB 1 AP 2 AB α PC 平面α所成角的余弦值为__________. K {x y x y } 6.在平面直角坐标系 中，点集 ( , ) , −1,0,1 .在 中随机取出三个点，则这 xOy K 三点中存在两点之间距离为 5 的概率为__________. π 7.在 中， 是边 的中点， 是线段 的中点.若∠A ， 的面积为 ∆ABC M BC N BM ∆ABC 3 3 ，则AM ⋅AN 的最小值为__________. 8.设两个严格递增的正整数数列{ }{ }满足： ，对任意正整数 ，有 an , bn a10 b10 2017 n an+2 an+1 +an ，bn+1 2bn ，则a1 +b1 的所有可能值为__________. 二、解答题 9.设 为实数，不等式 2 对所有 [ ]成立.证明：b −a ≤2 2 . k , m x −kx −m ≤1 x ∈a,b x x 10.设x , x , x 是非负实数，满足x +x +x 1，求(x 3x 5x )(x 2