三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质课件.doc

PAGE 5 - 三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1．O是的重心; 若O是的重心，则故; 为的重心. 2．O是的垂心; 若O是(非直角三角形)的垂心，则 故 3．O是的外心(或) 若O是的外心则 故 4．O是内心的充要条件是 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成　 ，O是内心的充要条件也可以是 。若O是的内心，则　 ACBC A C B C C P 是的内心; 向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)； (一)将平面向量与三角形内心结合考查 例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（ ） （A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心 解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为， 又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B. (二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理” 例2． H是△ABC所在平面内任一点，点H是△ABC的垂心. 由, 同理，.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略）） 例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（D　） A．外心　 B．内心　 C．重心　 D．垂心 解析:由.即 则 所以P为的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理” 例4． G是△ABC所在平面内一点，=0点G是△ABC的重心. 证明 作图如右，图中 连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线. 将代入=0， 得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心. 证明 ∵G是△ABC的重心 ∴=0=0，即 由此可得.（反之亦然（证略）） 例6 若 为内一点， ，则 是 的（???? ） A．内心?????????? B．外心??????? C．垂心????????? D．重心 解析：由得，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则，由平行四边形性质知，，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。 (四) 将平面向量与三角形外心结合考查 例7若 为内一点，，则 是 的（???? ） A．内心?????????? B．外心??????? C．垂心????????? D．重心 解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故 是 的外心?，选B。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查 例8．已知向量，，满足条件++=0，||=||=||=1， 求证 △P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题） 证明 由已知+=-，两边平方得·=， 同理 ·=·=， ∴||=||=||=，从而△P1P2P3是正三角形. 反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有++=0且||=||=||. 即O是△ABC所在平面内一点， ++=0且||=||=||点O是正△P1P2P3的中心. 例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。 【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有： 由题设可设, AB(x A B(x1,0) C(x2,y2) y x H Q G D E F 即，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2 例10．若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证 . 证明 若△ABC的垂心为H，外心为O，如图. 连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD. ∴，.又垂心为H，，， ∴AH∥CD，CH∥AD， ∴四边形AHCD为平行四边形， ∴，故. 著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系： （1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”； （2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。 “欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题. 例11． 设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心. 求证 证明 按重心定理 G是△ABC的重心 按垂心定理 由此可得 . 一、“重心”的向量风采 【命题1】 是所在平面上的一点，若，则是的重心．如图⑴. M M 图⑵ 图⑵ 图⑴ 【命题2】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的重心. 【解析】