医药数理统计6.ppt

四分位数指 K阶原点矩和K阶中心矩的概念 分布 方差 概率密度 区间(a,b)上 的均匀分布 E(?) N(?,? 2) 例1 设X ~ P (?), 求V ( X ). 解 方差的计算 通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值。 3.1 随机变量的数学期望； 3.2 随机变量的方差 ； 本章内容： 数字特征 第三章 随机变量的数字特征 定义 设离散型随机变量X的概率分布为 P{X = xk }= pk ， k =1,2,3… 若级数 ，则称级数和 为随机变量 X 的数学期望（或均值）， 记作E（X） 随机变量 X 的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受 X 的可能取值的排列次序的影响，因此要求 否则，称随机变量的数学期望不存在． 解 易知 X －1 3 P 0.4 0.6 例1 设随机变量X的分布列为 求 若将此例视为甲、乙两队“比赛”，甲队赢的概率为0.6，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得3分，每输一次扣1分，则 E(X) = 1.4 是指甲队平均每次可得分． 定义 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分 说明：如果积分 不收敛 ，则称随机变量X的数学期望不存在。 收敛，则称积分值 为X的数学期望（或均值）。记作E(X)， 2. 连续型随机变量的数学期望 试证X的数学期望不存在． 证 因为 例2 设随机变量X 服从柯西分布,其密度函数为 即 不收敛，所以X的数学期望不存在． 求X的数学期望（page 56）. 例3 设随机变量X的概率密度函数为 解 3. 随机变量函数的数学期望 如果级数 收敛，则有 定理3 设X是随机变量，Y = g(X)是X的连续函数，则有 (1) 若 为离散型变量，其概率函数为 (2)如果X为连续型随机变量，其概率密度为 f(x), 如果积分 收敛 则有 求E(X2)及E(2X-1). 例3.5 设随机变量X的概率密度函数为 证 可将C看成离散型随机变量，分布律为 P{X=C}=1，故由定义即得E(C)=C. 2. 设C为常数，X为随机变量，则有E(CX)=CE(X)． 证 设X的密度函数为 ，则有 3. 设 为任意两个随机变量，都有 1. 设C为常数，则有E(C)=C． 4. 数学期望的性质 4. 设X, Y为相互独立的随机变量，则有 注：3、4可以推广到有限个的情形 解: 二项分布的均值 Poisson 分布 解: 解: 均匀分布 指数分布 解: 常见随机变量的数学期望 分布 期望 概率分布 参数为p 的 0-1分布 p B(n,p) np P(?) ? 分布 期望 概率密度 区间(a,b)上的 均匀分布 E(?) N(?,? 2) 例 为普查某种疾病, n 个人需验血, 可采用两种 方法验血： (1) 分别化验每个人的血, 共需化验 n 次； (2) 将 k 个人的血混合在一起化验，若化验结果为阴性, 则此 k 个人的血只需化验一次；若为阳性, 则对 k 个人的血逐个化验，找出有病者, 这时 k 个人的血需化验 k + 1 次. 设某地区化验呈阳性的概率为p，且每个人是否为阳性是相互独立的.试说明选择哪一种方法可以减少化验次数 为简单计，设 n 是 k 的倍数，设共分成 n / k 组 第 i 组需化验的次数为X i Xi P 1 k + 1 解: 若 则EX n 例如， 中位数、众数和分位点 定义 定义 定义 例 例 解: 解: 双侧 ? 分位数的概念 设X 为连续型随机变量,其概率密度函数为f ( x ) 则对于满足 0 ? 1/2 的 ? , 则称 x? /2 为X 所服从的分布的双侧 ? 分位数 若 标准正态分布的上? 分位数 z ? u? ? ? 常用 数字 ?/2 -u?/2 = u1-?/2 ?/2 u?/2 ? -u?/2 ? 例：page63 例3.11 若E [X - E(X)]2 存在, 则称其为随机