《数字信号处理》5(精品·公开课件).ppt

第七章 IIR数字滤波器设计 双线性变换法 脉冲响应不变法的主要缺点是其设计的滤波器幅频特性容易产生频谱混叠，而产生频谱混叠的本质原因是由于脉冲响应不变法所采用的映射是多值映射。双线性变换法的基本思想就是设计一个单值映射，进而消除或减小频谱混叠失真。 双线性变换的引出 双线性变换法所构造的单值映射是通过二次映射实现的。 建立一个中间平面 ，观察如下映射关系： 式中：s1为S1平面的复变量，T为取样间隔，th[·]为双曲正切函数，C为任意常数。 双线性变换法 中间映射虚轴（频率）关系 由上式知，当s1为纯虚数时，即在S1平面的虚轴上，有： 亦即s也为纯虚数，也就是： S域“频率?”仍转换到S1域的“频率?1” ，而且有：当Ω1由 增加到 时，对应在S平面上Ω从-∞变化到+∞。亦即将S平面的整个虚轴（j ?）压缩到S1平面虚轴（j ?1）的长为 的一段。 可以证明，S平面的整个平面通过中间映射后被压缩到了S1平面上的 至 的一条带上。 双线性变换法 第二步，再经标准z变换，将S1平面上的2? 宽的一条带变换到Z平面，即： 如此，通过二次映射就建立起了一个S-Z平面间的唯一单值映射关系： 双线性变换两次映射的几何和物理过程如图6.4.1所示。 将标准z变换的频率变换式 代入，可得双线性变换模拟域与数字域之间频率关系为： 图6.4.1 双线性变换映射过程 双线性变换法 常数C的选取 一般而言，C的选取可以任意，因为它仅影响变换的尺度，而不会影响变换的特性。 在本课程（教材）中，选C＝2/T。 在实际设计中，通常是将模拟滤波器设计与双线性变换结合实现的，适当选取C可能影响滤波器设计的复杂度。在归一化设计中，通常通过选取C使对应的模拟滤波器带宽为1，即通过选C使模拟滤波器指标归一化。例如，设ωp为数字低通的截止频率，通过选C使Ωp=1，即有： 从而有： 双线性变换法 双线性变换的映射关系 由前面的讨论知，双线性变换映射是S-Z平面映射是单值唯一的。下面来证明它满足设计所要求的二原则。 由双线性变换映射表达式可以解出： 将 代入，有： 由上式可得： 当σ=0时， 。即S平面的虚轴jΩ映射到Z平面为单位圆；亦即模拟域的频率映射到了数字域的频率，满足第一原则； 双线性变换法 当σ0时， 。即S平面的左半平面映射到了Z平面的单位圆内；亦即若模拟滤波器的Ha(s)是稳定的，则通过映射后，得到的数字滤波器的H(z)也是稳定的，满足第二原则。 双线性变换法的频率畸变和预畸 频率畸变分析 双线性变换法采用了单值映射，避免了频谱混叠失真。具体地说，双线性变换法是由于其频率变换为压缩映射（ ），从而防止了混叠失真。 但另一方面由于频率变换的非线性性，双线性变换法又引入了频率非线性失真，这些可用下图说明。 双线性变换的频率非线性 双线性变换法 由图可以看出，经双线性变换后，数字域频谱就不会出现由于高频部分超过折叠频谱而混叠到下一个周期的低频部分去的现象，即不存在幅度特性的混叠失真。 同时，由图也可以看出，双线性变换法不产生幅度特性的混叠是以频率轴上的非线性变换（即引入了频率非线性失真）为代价的，这种频率变 换的非线性关系使数字滤波器相对原型模拟滤波器在频 率特性上发生了畸变，这种畸变称作频率畸变。 频率畸变的校正—预畸变 双线性变换映射的频率畸变，造成了数字滤波器幅度特性的频率失真，必须设法校正。解决的办法通常是采用预畸变的方法。 双线性变换法 频率畸变是由频率变换的非线性引起的，从理论上说，就可以再通过某种频率变换校正（补偿）这种畸变。 在实际设计中，常用预畸变的方法来补偿频率畸变。频率预畸变校正是这样实现的：在设计模拟滤波器之前先对指标做一次与设计中频率畸变对应（相反）的频率变换，称作频率预畸变。由于映射变换时必然要引入频率畸变，这样两次频率变换的效应相抵消，相当于频率无变化，亦即消除了频率畸变。 设为 数字滤波器设计域频率，通过： 双线性变换法 将滤波器指标转换到模拟域去，同时做了一次预畸变，然后再用双线性变换法设计数字滤波器，在双线性变换映射中在实施了一次非线性变换，从而校正了频率失真。由上式有： 将双线性变换法的频率转换关系 代入，这里ω是经双线性变换法设计后得到的数字频率域变量，有： 双线性变换法 因此显见，设计后的数字滤波器