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常见的讲课用22.1.4待定系数法求二次函数的解析式(公开课)
把k=2,b=1代入y=kx+b中, 已知:一次函数的图象经过点(2,5)和点(1,3), 求出一次函数的解析式. 解:设这个一次函数的解析式为y=kx+b. ∵y=kx+b的图象过点(2,5)与(1,3). 2k+b=5 k+b=3 解得, k=2 b=1 一次函数解析式为y=2x+1 课前热身 二次函数解析式有哪几种表达式? 1.一般式: 2. 顶点式: 3. 交点式: y=ax2+bx+c (a≠0) y=a(x-h)2+k (a≠0) y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 解:设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c 根据题意,得: a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 解得: ∴二次函数的解析式是 a=2, b=-3, c=5 y=2x2-3x+5 例1:已知一个二次函数的图象过点(-1,10)(1,4)(2,7)三点,求这个函数的解析式? 解:设抛物线的解析式为 y=a(x+1)2-3 例2:已知抛物线的顶点为(-1,-3),与y轴交点为(0,-5)求抛物线的解析式? ∵点( 0,-5 )在抛物线上 ∴a-3=-5, 解得a=-2 故所求的抛物线解析式为; 即:y=-2x2-4x-5 y=-2(x+1)2-3 解:设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-1) 例3 已知抛物线与X轴交于A(-1,0),B(1,0)并经过点M(0,1),求抛物线的解析式? y o x ∵点M( 0,1 )在抛物线上 ∴ a(0+1)(0-1)=1 解得 a=-1 故所求的抛物线为 y=- (x+1)(x-1) 即:y=-x2+1 解: 设函数的解析式为 已知一个二次函数的图象过点(0,-3) (4,5)对称轴为直线x=1,求这个函数的解析式? y=a(x-1)2+k 思考:怎样设二次函数关系式 充分利用条件 合理选用以上三式 例4 已知抛物线的顶点为A(-1,-4),又知它与x 轴的两个交点B、C间的距离为4,求其解析式。 y x o · · · · -3 –2 –1 1 2 · · · · · · · A B C · · · 5 -3 -4 分析:先求出B、C两点 的坐标,然后选用顶点 式或交点式求解。 已知三个点坐标三对对应值,选择一般式 已知顶点坐标或对称轴或最值,选择顶点式 已知抛物线与x轴的两交点坐标,选择交点式 二次函数常用的几种解析式 一般式 y=ax2+bx+c (a≠0) 顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0) 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 用待定系数法确定二次函数的解析式时,应该根据条件的特点,恰当地选用一种函数表达式。 一、设 二、代 三、解 四、还原 1.根据下列条件,求二次函数的解析式。 (1)图象经过(0,0), (1,-2) , (2,3) 三点; (2)图象的顶点(2,3), 且经过点(3,1) ; (3)图象经过(-1,0), (3,0) ,(0, 3)。 2.如图,直角△ABC的两条直角边OA、OB的长分别是1和3,将△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°,至△DOC的位置,求过C、B、A三点的二次函数解析式。 C A O B D x y 当抛物线上的点的坐标未知时, 应根据题目中的隐含条件求出点的坐标 (1,0) (0,3) (-3,0) 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2,图象顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-6),求此二次函数的解析式。 又∵图象经过点(3,-6) ∴-6=a (3-1)2+2 得a=-2 故所求二次函数的解析式为:y=-2(x-1)2+2 即: y=-2x2+4x 解:∵二次函数的最大值是2,顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时,x=1。 故顶点坐标为( 1 , 2) 所以可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 4.有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度为16m,跨度为40m.现把它的图形放在坐标系里(如图所示),求抛物线的解析式. 解:设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c, 根据题意可知抛物线经过(0,0) (20,16)和(40,0)三点 可得方程组 通过利用给定的条件列出a、b、c的三元一次方程组,求出a、b、c的值,从而确定函数的解析式.过程较繁杂。 评价 { C = 0 400a +20b +c=16 1600a +40b +c=0 解得a=-— b=— c=0 1 25 5 8 4.有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度为16m,跨度为40m.现把它的图形放在坐标系里(如图所示),求抛物线的解析式. 解:设抛物线为y=a(x-2
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