一元二次方程根与系数关系难题(精品).ppt

解法2 由求根公式得α＝－1＋2 β＝－1－2 ∴α2＋3β2＋4β ＝（－1＋2 ）2＋3(－1－2 )2＋4(－1－2 ) ＝9－4＋3(9＋4－4－8)＝32 解法3 由已知得：α＋β＝－2 αβ＝－7 ∴α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ＝18 令α2＋3β2＋4β＝A β2＋3α2＋4α＝B ∴A＋B＝4（α2＋β2）＋4（α＋β）＝4×18＋4×（－2）＝64 ① A－B＝2(β2－α2)＋4(β－α)＝2(β＋α) (β－α)＋4(β－α)＝0 ② ①＋② 得：2A＝64 ∴A＝32 题5：已知x1、x2是方程x2－x－9＝0的两个实数根，求代数式。x13＋7x22＋3x2－66的值。 题6：已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值． 题7：若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9． 求证x＝y． 证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9． 由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根． ∵ x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0． 则z2≤0，又∵z为实数， ∴z2＝0，即△＝0． 于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y． 题9：已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程． 解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有 a＋2a＝－P， ① a·2a＝q， ② P2－4q＝1． ③ 把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1． * * 韦达定理及其综合应用 韦达定理的应用： 1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值 3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中 字母系数的值 4.已知两数的和与积，求这两个数 5.已知方程的两根x1，x2 ，求作一个新的一元二次 方程x2 –(x1+x2) x+ x1x2 =0 6.利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c = a(x- x1)(x- x2) 题1： （1）若关于x的一元二次方程2x2+5x+k=0 的一根是另一根的4倍，则k= ________ （2）已知：a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0 的两个根，求：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = __________ 解法一：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = （1+2000a+a2 +6a)（1+2000b+b2 +5b) = 6a?5b=30ab 解法二：由题意知 ∵ a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0 ∴ a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b ∴ （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) =（2006a - 2000a)（2005b - 2000b) =6a?5b=30ab ∵ab=1， a+b=-200 ∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = （ ab +2006a+a2)（ ab +2005b+b2) =a(b +2006+a) ?b( a +2005+b) =a(2006-2000) ?b(2005-2000) =30ab 解法三：由题意知 ∵ a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0 ∴ a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b ∴ （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) =（2006a - 2000a)（2005b - 2000b) =6a?5b=30ab 题2： 已知:等腰三角形的两条边a,b是方程 x2-（k+2）x+2 k =0的两个实数根,另 一条边c=1， 求:k的值。 题3：已知关于x的一元二次方程x2+3x+1-m=0 （1）请为m选取一个你喜爱的数值，使方程 有两个不相等的实数根。 （2）设x1,x2是（1）中方程的两个根，不解方程 求：①（x1-2）（x2 –2） ② （x1- x2) 2 （3）请用（1）中所选取的m值，因式分解：x2+3x+1-m （4）若已知x12+ x22=10，求此时m的值。 （5）问：是否存在符合条件的m，使得x12+ x22=4？若存在，求出m，若不存在，请说明理由。 题4：已知αβ是方程x2