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第四节 函数的单调性与导数符号的关系 二、曲线的凹凸性与拐点 曲线的凹向与函数的导数的单调性 作业 P169-170 2(5) 3(3) 4(2) 6 7 * 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第四章 主要内容 ■ 函数的单调性 ■ 曲线的凹凸性与拐点 工具: 一阶导数 工具: 二阶导数 y = f (x) 函数单调增加 函数单调减少 0 0 函数单调性的判定定理 定理 设函数 y = f (x) 在 [a, b] 处连续, 在 (a, b) 内可导. (1) 如果 f ?(x) 0, ? x?? (a, b), 则 f (x) 在 (a, b) 上 单调递增; (2) 如果 f ?(x) 0, ? x?? (a, b), 则 f (x) 在 (a, b) 上 单调递减. 例 解 1) 讨论函数 y = ln x 的单调性. 2) 讨论函数 y = e x－x－1 的单调性. y? 0, y 在 (－∞, 0) 上单调递减; 当 x 0时, y? 0, y 在 (0, +∞) 上单调递增. 解 ln x 在 (0, +∞) 上单调递增. 当 x 0时, 解 f ?(x) = 6 x2－18 x + 12 = 6 (x－1)( x － 2) 令 f ?(x) = 0 得: x1 = 1, x2 = 2 当 －∞ x 1时, f ?(x) 0, 在 (－∞, 1) 上单调递增; 当 1 x 2时, f ?(x) 0, 在 (1, 2) 上单调递减; 当 2 x +∞ 时, f ?(x) 0, 在 (2, +∞) 上单调递增. 求函数 f (x) = 2 x3－ 9 x2 + 12 x－ 3 的增减性. 例1 求函数 f (x) = 2 x3－ 9 x2 + 12 x－ 3 的增减性. 解 f ?(x) = 6 x2－18 x + 12 = 6 (x－1)( x － 2) 令 f ?(x) = 0 得: x1 = 1, x2 = 2 (－∞, 1) (1, 2) (2, +∞) 1 2 也可用列表法讨论如下: 0 0 所以, 递增区间为: (－∞, 1) 和 (2, +∞); 递减区间为: (1, 2). 例1 求函数 f (x) = (x + 2)2(x － 1)3 的单调区间. 例2 求函数 f (x) = (x + 2)2(x － 1)3 的单调区间. 解 f ?(x) = (x + 2)(5x + 4)( x － 1)2 令 f ?(x) = 0 得: (－∞, －2) －1 列表讨论如下: x1 = －2, x2 = , x3 = 1 4 5 (1, +∞) 1 (－2, ) 4 5 4 5 ( , 1) 4 5 0 0 0 递增区间为: (－∞, －2) 和 ( , +∞); 4 5 递减区间为: (－2, ). 4 5 例2 求函数 y = 的单调性. 解 当 －∞ x 0时, f ?(x) 0, 在 (－∞, 0) 上单调递减; 当 0 x +∞ 时, f ?(x) 0, 在 (0, +∞) 上单调递增. 当 x = 0时, 导数不存在. 例3 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 注意: 区间内个别点导数为零,不影响 区间的单调性. 例如, y -2 O 2 -4 -2 2 4 x y=x3 驻点 方法: 用驻点和不可导点来划分函数的定义区间, 然后判断区间内导数符号. 总结 利用函数的单调性证明不等式 例4 证 当 x 0 时, 证明 x ln(1 + x). 设 f (x) = x － ln(1 + x) 则 即 x ln(1 + x). 而 f (0) = 0, f (x) f (0) = 0. 当 x 0 时, f (x) f (0). 在 (0, +∞) 上单调递增 f (x) 在 (0, +∞)上连续, 在 (0, +∞) 内可导, 且 f ?(x) 0 例5 证 综上所述, 当 x ≠ 0 时, 总有 e x 1 + x 令 f (x) = e x － (1 + x) 则 f ?(x) = e x－1 当 x 0 时, f ?(x) 0, f (x) 在 (0, +∞) 为增函数 即 e x 1 + x f (x) f (0) = 0. 当 x 0 时, f ?(x) 0, f (x) 在(－∞, 0) 为减函数 即 e x 1 + x f (x) f (0