《高数》第6章(精品·公开课件).ppt

21世纪高职高专精品教材  高等数学 第6章 常微分方程 6.1.1 微分方程的定义 6.1.2　微分方程的解 6.2.1 可分离变量的微分方程 6.2.2 一阶线性微分方程 6.2.3　零次齐次微分方程 6.3.1　类型Ⅰ　 6.3.2 类型Ⅱ(不显含y的方程)　 6.3.3 类型Ⅲ(不显含x的方程) 6.4.1 二阶线性微分方程的解的结构 6.4.2　二阶常系数齐次线性微分方程的通解求法 6.5.1 二阶常系数非齐次线性微分方程通解的结构 6.5.2　 型 6.5.3　 型 6.5.4　 型 故方程的一个特解为： .所求的通解为 (c1， c2为任意常数)． 6.5.4　 型 这时二阶常系数线性非齐次方程为 其中a，ω，A，B均为常数 因为方程中p、q均为常数且指数函数的导数仍为指数函数，正弦函数与余弦函数的导数仍是正弦函数与余弦函数，因此我们可以设原方程具有如下形式的特解 其中C，D为待定常数．k取值0或1.具体方法如下： (Ⅰ)当 不是特征方程的根时，取k=0． (Ⅱ)当 是特征方程的根时，取k=1. 例5　求方程 的通解. 解 为 型的函数，且 ， ， 是特征方程的根 ,所以取 ．设特解为 代入原方程，得 比较两端sinx与cosx的系数，得 故原方程的特解为 而对应齐次方程 的通解为 故原方程的通解为 例6　求方程 的通解． 解　 可以看成是 与 之和．所以分别考察方程 与 方程 的特解． 容易求得方程 的一个特解为： 按例5的方法可求得方程 的一个特解为： ． 于是原方程的一个特解为 原方程所对应的齐次方程 的通解为 6.3 可降阶的高阶微分方程 6.3 可降阶的高阶微分方程 6.3.1　类型Ⅰ　 解法：相继积分n次即可求出通解. 例1　求方程 的通解及满足条件 的特解. 解　相继积分3次得出 其中 为任意常数.第一次积分后的任意常数写作2c1,是为了使最终结果更整齐.以 =-1代入后可定出 ，于是所求特解为 6.3.2 类型Ⅱ(不显含的方程)　 解法：令 ，则 ，将原方程化为关于p的一阶方程 ,求出该方程的通解为, ,再对它积分一次即可得出原方程的通解： 例2　求方程 的通解. 解　该方程是不显含y的方程，令 ，则 .原方程化为一阶方程 分离变量： 两边积分得： .再积分一次即得原方程的通解为 需要提醒读者注意的是，在解题过程中曾以p为除数，而由p=0得到的解y=c （任意常数）已包含在通解中（ c1=0 ）. 6.3.3 类型Ⅲ(不显含的方程)　 解法：令 ，则 .以y为自变量，将原方程化为关于的一阶方程 求出该方程的通解为 ，再解关于y的一阶方程 求解. 例3　求方程 的通解． 解　该方程是不显含x的方程，令 ，则 ,原方程化为 分离变量： ．两边积分得： 再由 ，解得 ． 在分离变量时以py除方程两边．若p=0，或y=0 ，得y=c，它显然是原方程的解，它已包含在通解中（如果能取c1=0 ）．还要说明一点的是上面用到的常数的ln|c1|能取到(-∞, +∞)中的任何值，所以是任意常数．综上所述，所求的通解为 ( 为任意常数). 习题6-3 1．求方程 的通解及满足条件 的特解． 2．求方程 的通解． 3．求方程 的通解． 6.4 二阶常系数齐次线性微分方程 6.4 二阶常系数齐次线性微分方程 6.4.1 二阶线性微分方程的解的结构 形如