3-03 微积分基本公式(精品·公开课件).pptVIP

上一页 下一页 返回首页 湘潭大学数学与计算科学学院 * 第三节 微积分基本公式 三 牛顿-莱布尼茨公式 二 变上限积分 四 小结 一 引例 湘潭大学数学与计算科学学院 * 一、引例 设某产品的生产率是一个关于时间t的连续函数q(t), 以时间 t 为横轴，生产率q(t)为纵轴建立直角坐标系 从定积分的定义可知：在时间 上该产品的总产量Q 可以用生产率函数q(t)在 上的定积分 湘潭大学数学与计算科学学院 * 总产量函数Q(t)在时间区间 上的增量，即 由此可见 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . 来表示；另一方面，这段时间的产量又可以表示成 湘潭大学数学与计算科学学院 * 二、积分上限函数的定义 定义3.1 设函数 f(x)在区间[a, b]上连续，则对于任意 函数 f(x)在区间[a, x]上连续，于是 总确定一个值，从而定义了一个函数 上述函数通常称为积分上限函数或变限积分函数 （Uncertain Limit Integral Function）. 问题：积分上限函数与定积分有什么不同？ 湘潭大学数学与计算科学学院 * 则函数 证 则有 定理3. 1 上的一个原函数. 是f(x)在 湘潭大学数学与计算科学学院 * 1) 定理 3.1 证明了连续函数的原函数是存在的. 2) 变限积分求导: 同时为通过原函数计算定积分开辟了道路 . 说明: 湘潭大学数学与计算科学学院 * 例1 计算下列导数： . 解 (1) (2) 由 ，故 湘潭大学数学与计算科学学院 * (3) 设 注意到上限 是 x 的函数，若设 则所给函数F(x)可看成由函数 和 复合而成. 根据复合函数求导法则，得 湘潭大学数学与计算科学学院 * （4）由于积分内含有子变量，先作整理，得 从而 湘潭大学数学与计算科学学院 * 例2 求 解 原式 原式 湘潭大学数学与计算科学学院 * 三、牛顿 – 莱布尼兹公式 (牛顿 - 莱布尼兹公式) 则 定理3.2 设 F(x)为 个原函数 , 证 根据定理3. 1, 故 的一个原函数 , 湘潭大学数学与计算科学学院 * 证 根据定理3. 1, 故 因此 得 记作 的一个原函数 , 湘潭大学数学与计算科学学院 * 例3 求 ． 解 由于 是 -莱布尼兹公式，有 的一个原函数，所以按牛顿 例4 求 解 由于 是 的一个原函数，所以 湘潭大学数学与计算科学学院 * 例5 设 , 求 . 解 湘潭大学数学与计算科学学院 * 例6 求 解 由 当 时， ；当 时， ．故 湘潭大学数学与计算科学学院 * 例7 某产品总产量的变化率是时间t的函数 （吨/月）， 试确定总产量函数，并计算出第一季度的总产量． 解 因为总产量F(t)是它的变化率 f(t)的原函数，所以 总产量函数 第一季度的总产量为 （吨）． 湘潭大学数学与计算科学学院 * 内容小结 1. 微积分基本公式 2. 变限积分求导公式 湘潭大学数学与计算科学学院 * 作 业 * * 运行时, 点击按钮“说明”, 可显示变限积分求导公式. * 运行时, 点击按钮 “公式” 可显示变限积分求导公式. * 运行时, 点击按钮 “公式” 可显示变限积分求导公式. 上一页 下一页 返回首页 * * 运行时, 点击按钮“说明”, 可显示变限积分求导公式. * 运行时, 点击按钮 “公式” 可显示变限积分求导公式. * 运行时, 点击按钮 “公式” 可显示变限积分求导公式.