4-2线性代数同济5版(精品·公开课件).pptVIP

三、小结 思考题 思考题解答 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章 向量组的线性相关性 三、小结 思考题 二、线性相关性的判定 一、线性相关性的概念 第二节 向量组的线性相关性 定义　设ｎ维向量组 为零的数 ，使得 则称向量组 ，如果存在不全 线性相关（Linear Dependent）. 反之，若当且仅当 ，才有 则称向量组 线性无关（Linear Independent）. 一、线性相关性的概念 ②　单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量． ③　单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量． ④　一向量组中存在一个零向量，则一定线性相关． ⑤　一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组都线性无关． ①　对于一个向量组，不是线性相关就是线性无关． ⑧　几何上：两向量线性相关?两向量共线； ⑥　两向量线性相关?两向量对应分量成比例 三向量线性相关?三向量共面. ⑦　两向量线性无关?两向量对应分量不成比例 定理1向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示． 证明 充分性 设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示. 即有 二、线性相关性的判定 故 因 这 个数不全为0， 故 线性相关. 必要性 设 线性相关， 则有不全为0的数　　　　　　使 因 中至少有一个不为0， 不妨设　　　则有 即 能由其余向量线性表示. 证毕. 线性相关性在线性方程组中的应用 结论 定理2 下面举例说明定理的应用. 这是因为? 向量组A? a1? a2? ???? am线性相关 ? x1a1?x2a2? ??? ?xmam?0即Ax?0有非零解 ?R(A)?m? 解 例１ 解 例２ 分析 证 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 证法二 因为矩阵A的列向量组线性无关? 所以可推知Kx?0? 又因|K|?2?0? 知方程Kx?0只有零解x?0? 所以矩阵B的列向量组b1? b2? b3线性无关? 记作B?AK? 设Bx?0? 以B?AK代入得A(Kx)?0? . , , , , , , , , 3 2 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 3 2 1 线性无关 试证 线性无关 已知向量组 b b b b b b a a a a a a a a a + = + = + = 例3 证法三 因为A的列向量组线性无关? 所以R(A)?3? 从而 R(B)?3? 因此b1? b2? b3线性无关? 因为|K|?2?0? 知K可逆? 所以R(B)?R(A)? 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 记作B?AK? . , , , , , , , , 3 2 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 3 2 1 线性无关 试证 线性无关 已知向量组 b b b b b b a a a a a a a a a + = + = + = 例3 定理3 证明 说明 说明 (2)用反证法? 假设a4能由a1? a2? a3线性表示? 而由(1)知a1能由 a2? a3线性表示? 例4 设向量组a1? a2? a3线性相关? 向量组a2? a3? a4线性 无关? 证明 (1) a1能由a2? a3线性表示? (2) a4不能由a1? a2? a3线性表示? (1)因a2? a3? a4线性无关? 所以a2? a3也线性无关? 证明 因此a4能由a2? a3线性表示? 这与a2? a3? a4线性无关矛盾? 又a1? a2? a3线性相关? 所以a1能由a2? a3线性表示? 　　１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； 　　２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性