大学高等数学经典课件3-6(精品·公开课件).ppt

高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 第六节 函数图形的描绘 综合上述,要作出函数的图形,可以按如下步骤进行 (1)考察函数的基本性质,例如定义域,奇偶性,周期性,连续 性等以便作图;奇偶性,周期性使画图简单. (2)确定图象上的一些特殊点,例如与坐标轴的交点f(x)=0, 顶点f’=0, 间断点和始(终)点. (3)利用导数研究函数的单调区间与极值,凹凸区间与拐点. (4)求出曲线的全部渐近线 (5)需要时可由曲线的方程计算出一些适当的点的坐标. (6)列表表示上述讨论的结果,在坐标系里画出渐近线和控制 点(各种特殊点,包括极值顶点,拐点等),再根据单调性与凹 凸性,可确定曲线的走向,画出该曲线. 例5 作出例4中函数的图形 (1) 定义域为x≠1的实数;当x=1时为间断点, x=0时y=-9/4, y=0,x=3曲线与两条坐标轴的交点 为(0,-9/4), (3,0) (2) 令y’=0,得到x=-1,x=3.于是-1,1,3把函数的定义域 分成四个区域: 曲线在(-∞,-1],[3,+ ∞)之内y’0,函数单调上升; 曲线在[-1,1),(1,3]内y’0函数单调下降. 函数在x=-1时,它从左到右,一阶导数由大到小(变号)有 极大值 y(-1)= -2; 函数在x=3时它从左到右,一阶导数由小到大(变号)有 极小值y(3)=0 (3) 当x1时,y”0,曲线上凸,当x1时,y”0,曲线下凹,没有拐点. x=1时,函数没有定义,但y”不存在.函数值为无穷大.因此 x=1不是点. (4) 渐近线为x=1和y=x/4-5/4 所以x=1是曲线的竖直渐近线 是曲线的斜渐近线 (5) 函数没有始点和终点,为此我们作一些辅助点 (2,1/4),(4,1/12)(-2,-25/12) y x x=1 4y=x-5 x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,3) 3 (3,+ ∞) y’ + 0 -- 不存在 -- 0 + y” -- -- -- 不存在 + + + y -- -2 -- - ∞,+ ∞ + 0 + 综合上面的讨论,列表如下: 下面我们研究三个问题 (1) 利用导数证明不等式. (2) 证明某些等式. (3) 方程根的进一步讨论. (1)利用导数证明不等式 利用导数证明不等式是常考的题型.主要的方法有: 10 利用导数定义证明. 20 利用微分中值定理; 30 利用函数的单调性; 40 利用极值(或最值); 50 利用泰勒公式. 60 利用函数的凹凸性证明 20 利用微分中值定理 若函数f(x)有一二阶导数,而要证的不等式的两端含有 f(x) 的函数值,特别是f(x)的表达式不知道时,或不等式中含有 f(x)的导数时,常用拉格朗日中值定理证.若不等式两端或一 端是两类不同函数的商或可写成两类函数的商时,常用柯 西中值定理证. 例2 证明不等式 证明：把lna乘以各式,得到 区间[1/(n+1),1/n]上的增量,可以对f(x)使用拉格朗日中值定理,有 f(b)-f(a)=f ’(ξ)(b-a) 因为 是函数f(x)=ax 在 例3 30 利用函数的单调性 当要证的不等式两端是给定的两个表达式,或不等式一端 或两端含f(x),且知道f’(x)0(或f”(x)0)则常需要用单调性证. 解：:为证不等式,只要证 例4 当x0时,证明不等式 其辅助函数为 所以当x0时,f(3)(x)严格单调增加,即f”(x)f”(0) (x0) 从而 f’(x)严格单调增加,于是当x0时f’(x)f’(0)=0 例5 设f”(x)0 ,f(0)=0,证明当0a≤b时,f(a+b)f(a)+f(b) 函数f’(x)严格单调减少 证明: 要证明f(a+b)f(a)+f(b)就只要证f(a+b) -f(b)f(a)-f(0) 40 利用函数的极值与最值 例6 对任