大学高等数学经典课件10-5(精品·公开课件).ppt

高等数学电子案 武汉科技学院数理系 第五节 对坐标的曲面积分 在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量,即流量φ 下面我们讨论一个例子,然后引进对坐标的曲面积分的概念. 流向曲面一侧的流量 v(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 给出, Σ是速度场中的一片有向曲面,函数P(x,y,z) ,Q(x,y,z),R(x,y,z)都在Σ上连续,求 设稳定流动(即流速与时间t无关)的不可压缩流体 (假定密度为1)的速度场由 n v θ A A x v θ A n A . 它的值是正的.见下图 如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域,且流体在 这闭区域上各点处的流速为常数v,设n为该平面的单位法 向量,那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底 面积为A,斜高为|v|的斜柱体.其中θ是流速v与x轴的夹角 当θ900时,斜柱体的体积为 A|V|cosθ=Av·n如上图 如果θ900时,它单位法向量是负的, v·n也是负的,所以 看成平面)流速也近似看成常向量处理. 现在对于上面的讨论,我们引进对坐标的曲面积分的概念 现在我们考虑的问题不是平面闭区域而是一片曲面,且 流速不是常向量,所以要求把曲面分割为小的曲面(近似 对坐标的曲面积分的概念与性质 双侧曲面 假定曲面是光滑的,通常我们遇到的曲面都是双侧的. 如果用z=z(x,y)表示的曲面,有上侧, 下侧之分. 如果用x=x(y,z)表示的曲面,有前侧, 后侧之分. 如果用y=y(x,z)表示的曲面,有左侧, 右侧之分. 一张包围某一空间区域的闭曲面,有外侧,内侧之分; 在讨论对坐标的曲面积分时,需要指定曲面的侧,我们通过曲面上的法向量的指向来定出曲面的侧 有向曲面: 可通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧;我们称为有向曲面. 例如:z=z(x,y)如果取法向量n的指向朝上,则取定曲面的上侧. 又例如:对于闭曲面,如取法向量的指向朝外,则认定 曲面的外侧. x y z 规定Δs在xoy平面上的投影(Δs)xy为 3.有向曲面的投影区域 设Σ为有向曲面,在Σ上取一小块曲面Δs,把 Δs投影到xoy面上得一投影区域,此投影区域的 面积记为(Δσ)xy,假定Δs上各点处的法向量与 z轴的夹角γ的余弦cosγ有相同的符号 (Δs)xy= (Δs)xy= (Δs)xy实际上就是Δs在xoy平面上的投影区域的面积附以一定的正负号; 类似地可以定义Δs在yoz平面及zox平面上的投影(Δs)yz及(Δs)zx 二.定义 设S是一个有界的光滑的曲面,设S上每一点(x,y,z)处沿指定侧的单位法线向量为 又设向量函数 其中P,Q.R是定义在S上的有界函数,则函数 在S上的第一类曲面积分 称为向量函数A(x,y,z)沿定侧曲面S的第二类(或对坐标的) 曲面积分.这里n·dS为有向面积元素,它在xoy,yoz,zox坐标 面上的投影分别为 从这里可知,第二类曲面积分是由第一类曲面积分变化而来的. 性质 (1)若Σ=Σ1+Σ2,则 (2)-Σ表示与Σ取相反侧的有向曲面,则积分曲面取相反 侧时,对坐标曲面积分变号,有: 注意:对坐标的曲面积分必须注意积分曲面所取的侧. 二. 对坐标的曲面积分的计算法 条件为: (1)Σ在z=z(x,y)给出曲面上侧; (2)Σ在xoy平面上的投影区域为Dxy; (3)z=z(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数; (4)被积函数R(x,y,z)在Σ上连续. 结论是: 从这里可看出对坐标的曲面积分的计算方法可简化为 一(把曲面的参数方程)代(入被积函数中). 二方向(注意上侧,外侧,或前侧为“+”号,下侧,内侧,后侧为“-”号) 三投影 即把曲面向坐标平面投影,使曲面积分变成二重积分. 推导:由定义得: 注意: (1)对坐标的曲面积分可化为二重积分计算 ,其中z=z(x,y),Dxy为Σ在xoy平面上的 从而有 (z=z(x,y)曲面上侧取正,下侧取负) (2)若曲面积分取Σ的下侧,此时cosγ0,(△si)xy= - (△σi)xy有 投影区域; 2. 另外二公式: (1)若Σ由x=x(y,z)给出,则有: (x=x(y,z)曲面前侧取正,后侧取负) (y=y(z,x)曲面右侧取正,左侧取负) (2)若Σ由y=y(z,x)给出,则有: 例1 计算曲面积分 其中Σ是长方体Ω 的整个表面的外