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高 等 数 学同济第五版 主讲：南阳师范学院数学系 何一农 微积分基本公式一 、复习二 、引例三 、变上限函数四 、牛顿—莱布尼兹公式五 、举例六 、注意七 、思考题 一 复习 二、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 若一物体作变速直线运动，设时刻 时，物体所在位置为 ，其速度为连续函数 则由定积分的定义可得物体在时间间隔 内，经过路程可以用速 在区间 上的定积分 来表示； 另一方面这段路程可以通过位置函数 在 上的增量 来表示。由此可见，位置函数 与速度函数 之间有如下关系 如果 在 上连续，并且 是 在 上的一个原函数，则 三、变上限的函数及其导数 设 在 上连续， ，由于 在 上仍然连续，故定积分 存在，于是，如果上限 在区间 上任意变动，则对于每一个取定的 值，定积分有一个对应值，所以在区间 上确定了一个函数，记作 ，即 或 定理1 如果 在区间 上连续，则定积分上限函数 在 上可导，并且它的导数是 定理2：如果函数 在区间 上连续，则 就是 在 上的一个原函数。 四、牛顿——莱布尼兹公式 定理3 如果 在 上连续，并且 是 在 上的一个原函数，则 五、例题 例1：计算定积分 例2： 求直线 与抛物线 所围成图形的面积（如图所示）． 例3： 汽车以每小时 速度行驶，到某处需要减速停车． 假定汽车以等加速度 刹车。问从开始刹车到停车，汽车行走了多少距离？ 注意 1 在运用牛顿—莱布尼兹公式求定积分时，必须指明被积函数是否连续，如果被积函数在积分区间上不连续，则不能用牛顿—莱布尼兹公式进行计算． 例如 显然是错误的，原因在于 在[-1，1]上不连续． 注意 2 如果函数 的原函数不是初等函数,则求它的定积分时不能使用牛顿—莱布尼兹公式 ,例如 思考题 如果 连续, 可导,问 是否可导?导数为多少? * * 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回