计算机图形学 第三章-1(Basic)(精品·公开课件).ppt

第三章 几何造型技术 几何造型技术是一项研究在计算机中，如何表达物体模型形状的技术。 描述物体的三维模型有三种: 线框模型、表面模型和实体模型。 线框模型用顶点和棱边来表示物体。 由于没有面的信息，它不能表示表面含有曲面的物体； 它不能明确地定义给定点与物体之间的关系（点在物体内部、外部或表面上）。 表面模型用面的集合来表示物体，而用环来定义面的边界。 表面模型能够满足面面求交、线面消隐、明暗色彩图、数控加工等需要。 但在该模型中，只有一张张面的信息，物体究竟存在于表面的哪一侧，并没有给出明确的定义，无法计算和分析物体的整体性质。如物体的表面积、体积、重心等。 也不能将这个物体作为一个整体去考察它与其它物体相互关联的性质，如是否相交等。 实体模型能完整表示物体的所有形状信息，可以无歧义地确定一个点是在物体外部、内部或表面上。是最高级的模型。 这种模型能够进一步满足物性计算、有限元分析等应用的要求。 三维表面模型表示三维物体的信息并不完整，但它能够表达复杂的雕刻曲面，在几何造型中具有重要的地位，对于支持曲面的三维实体模型，表面模型是它的基础 3.1 参数曲线和曲面 3.1.1 曲线曲面参数表示的基础知识 显式表示:y=f（x） 隐式表示:f（x，y）=0 参数表示:P(t)=[x(t), y(t), z(t)] 显式或隐式表示存在下述问题： 1）与坐标轴相关； 2）会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）； 3）对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非参数化函数表示； 4）不便于计算机编程。 参数表示的优点： 1）以满足几何不变性的要求。 2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状（3）对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换。 4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。 （5）变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量，便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。 （6）规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。 （7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。 3.1.1.2 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率 曲线上任一点的位置矢量可表示为： P(t)=[x(t), y(t), z(t)]； 切矢量 选择弧长s作为参数，则 是单位切矢 根据弧长微分公式有： 所以单位切矢是 法矢量 与 平行的法矢称为曲线在该点的主法矢N 矢量积 是第三个单位矢量，它垂直于T和N。把平行于矢量B的法矢称为曲线的副法矢矢 我们可以推导出： T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动坐标架 N、B构成的平面称为法平面，N、T构成的平面称为密切平面，B、T构成的平面称为从切平面。 曲率和挠率 即 称为曲率，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率 曲率k的倒数 称为曲率半径。 挠率 的绝对值等于副法线方向(或密切平面)对于弧长的转动率. .对于一般参数t，我们可以推导出曲率和挠率的计算公式如下： 3.1.1.3 插值、逼近、拟合和光顺 给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。 线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用一个线形函数：y=ax+b，近似代替，称为的线性插值函数。 抛物线插值:已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造一个函数 使抛物线 在结点xi处与f(x)在xi处的值相等. 逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，所构造的曲线为逼近曲线。 插值和逼近则统称为拟合。 光顺(Firing)指曲线的拐点不能太多。对平面曲线而言，相对光顺的条件是： a. 具有二阶几何连续性(G2)； b. 不存在多余拐点和奇异点； c. 曲率变化较小。 3.1.1.4 参数化 参数t, 在[0, 1]区间的分割可以有无数种。因为P0、P1和P2可对应： 其中每个参数值称为节点(knot)。 对于一组有序的型值点Pi，确定一种参数分割ti，称之对这组型值点参数化。 参数化常用方法有： 均匀参数化(等距参数化) 节点在参数轴上呈等距分布， +正常数。 累加弦长参数化 这种参数法如实反映了型值点按弦长的分布情况，能够克服型值点按弦长分布不均匀的情况下采用均匀参数化所出现的问题。 向心参数化法 向心参数化法假设在一段曲线弧上的向心力与曲线切矢从该弧段始端至末端