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离散数学 第9章 树 第9章 树 定义9.1.1 树T是一个简单图，满足，如果v,w是T中的节点，v和w之间只有一条唯一的简单路径。 一棵有根树是有一个特殊的顶点被设计成根节点的一棵树。 根树 根 在上 层数 根0层 节点v的层数:从根到v的路径的长度 例9.1.3 例9.1.4 根树 9.1.7 层次概念树 9.1.8 Huffman编码 算法9.1.9 构造Huffman编码 根据字母出现的频率构造最优的Huffman编码 输出是一棵根树，叶子用频率标记 输入：n个频率组成的序列，n?2 输出：定义一个最优Huffman码的根树 Procedure huffman(f,n) if n=2 then begin 设置f1,f2为频率 设置T为 end 设fi,fj为最小的频率 用频率为fi+fj的f’替换fi和fj T/ :=huffman(f, n-1) 用 替换T/中标记为f’的节点得到T return(T) end huffman 例9.1.10 例9.1.10 2，3，7，8，12 2+3，7， 8，12 5，7，8，12 5+7， 8， 12 8， 12，12 8+12， 12 12， 20 9.2树的术语和特征 定义9.2.1 T是根为v0的树，x,y,z是T的节点 (v0,v1, . . ., vn)是T上的简单路径，则 vn-1是vn的父亲 v0,v1, . . ., vn-1是vn的祖先 vn是vn -1的孩子 如果x是y的祖先，则y是x的子孙 如果x和y是z的孩子，则z和y是兄弟 如果x没有孩子，x是外部节点，叶 9.2树的术语和特征 如果x不是外部节点, 则x是内部节点 树T的以x为根的子树，是一图， (V，E) V：x及x的子孙， E={e|e是从x到V中某个节点的简单路径上的一条边} 树T的性质 无环图：没有回路的图 树是一棵连通的无环图 每一连通的无环图是树 定理9.2.3 T是一具有n个节点的图，则下面的结论是等价的 (a) T是一树 (b) T是连通，无环的 (c) T是连通的，且有n-1条边 (d) T是无环的，且有n-1条边 9.3生成树 G: 图 定义 9.3.1 树T是图G的一生成树，如果T是一个包含G的所有节点的子图。 例9.3.2 定理9.3.4 图G 有生成树当且仅当图G是连通的。 例9.3.5 算法9.3.6 用广度优先算法查找生成树 Input: G ,n个节点的连通图，节点排序为v1,v2, . . ., vn Output:G的生成树T procedure bfs(V,E) // V节点的有序表，E=边的集合 // V/ = T的节点集合， E/ = T的边集合 // S有序表, v1 是根 S：=(v1) V/ ：={v1} E/ ：={ } while true do begin for each x ? S 依次序do for each y ? V- V/依次序do if (x, y)是一边do 将(x, y)加到E/ 将y加到V/ if无边可加入then return T S:=S的儿子，与原节点排序一致 end end bfs 应用 可用来判别一个图是否是连通的 可用来求一个无权图从某一个节点v到所有其他节点的最短的路径 算法9.3.7 用深度优先算法查找生成树 Input: G ,n个节点的连通图，节点排序为v1,v2, . . ., vn Output:G的一生成树T Procedure dfs(V,E) // V/ :T的节点集合， E/ : T的边集合 // S有序表, v1 T的根 V/ ：={v1} E/ ：={ } w=v1 while true do begin while存在(w,v)且加入T不产生回路do begin 选择具有最小k且加入T后不产生回路的边(w,vk) 将(w,vk)加入E/ 将vk加入V/ w:=vk end if w =v1 then return(T) w:=w在T中的父亲 end end 例9.3.8 回溯法 深度优先算法也称回溯法 例 9.3.10 求解4-皇后问题 Input:长为4的排