计算方法4(精品·公开课件).ppt

③ 收敛性 L越小，收敛的越快。 3、定理说明： 定理条件是充分的，非必要的。 例： k xk 0 1 2 3 0.5 0.0625 00.0000 4、在实际应用中，用|φ′(x)|1判断收敛性。 当不满足收敛条件时，改变迭代公式使之 满足，然后再进行迭代。 例： 试证明： 证明： 5、在某些情况下，若|φ′(x)|1，如果x=φ(x) 存在反函数，可根据反函数迭代。 直接函数与反函数 ① 直接函数与反函数图形对称于y轴。 ② 反函数的导数等于直接函数导数的倒数。 则可使迭代过程收敛，此时 例1： 反函数 例2： 反函数 6、误差估计 推论：在定理的条件下，有误差估计式 证明： 结论： ① L越小，收敛得越快，0≤L1 ② 由验后误差估计式知，只要xk-xk-1足够 小，就能保证xk足够准确。因此可用 xk-xk-1控制迭代的结果。 ③ L≈1时，方法不可靠。 例1： 解： 单调 等价方程 * 可归结为f(x)=0求根或者求f(x)零点。 求n次代数方程 求超越方程 问题提出： 1、 已知大概范围，位置求单根。 2、 未知根的数目、范围和位置，求全部根。 2.1.1 初始值的有哪些信誉好的足球投注网站 2.1 二分法 定理：若函数f(x)在[a,b]连续且两端异号，即 f(a)f(b)0,则方程f(x)=0在(a,b)内至少 有一个实根。将[a,b]称为有根区间。 y x f(x) a b x1 x2 x3 x4 定理：设实函数f (x)在区间[a,b]上单调连续，若 f(a)f(b)0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上有 且只有一个实根x*。 y x f(x) a b x0 a1 x1 a2 b1 b2 x2 a3 b3 2.1.2 区间二分法 三、 根据给定精度ε确定二分次数 例1：证明：1-x-sinx=0在[0,1]内有一个根。并 求使用二分法要求误差不大于 的 根要二分多少次？ 证明： f(x)=1-x-sinx=0连续 f(0)=10 f(-1)=-sin10 f′(x)=-1-cosx0单调x ∈ [0,1] ∴f(x)=1-x-sinx=0在[0,1]内有且仅有一个根。 使用二分法时： 取n=14即可 例2：用二分法求解方程x3-x-1=0在[1,1.5]内的 一个实根。要求误差不超过0.005。 解： f(x) 在[1,1.5] 上单调连续。 f (1)=-1 f (1.5)=0.8750 f(x) 在[1,1.5] 上有一个根。 确定二分次数 取n=6 - 1.3242 1.3203 6 - 1.3203 1.3281 5 + 1.3281 1.3438 4 + 1.3438 1.3125 3 - 1.3125 1.3750 2 + 1.3750 1.2500 1 - 1.2500 1.5000 1.000 0 f (xk) xk bk ak K 取x*=1.32 四、 区间二分法优缺点 （一） 优点： 1、简单 2、对f (x)要求低 （二） 缺点： 1、收敛速度与比值为1/2的等比级数 相同。(慢) 2、只能求单根，不能求偶数重根，也 不能求虚根和复根。 五 、 归纳计算步骤 1、找出f (x) 的有单根区间，且f(x)在区间上 连续。 2、由误差估计式 计算出满足ε要求的n。 3、按二分法程序计算xn，并取x* = xn ① 计算端点值 f(a) ，f(b) ② 否则检验 f(x)与 f(a)同号，则根位于[x,b] x→a f(x)与 f(a)异号，则根位于[a, x] x→b ④ 若|b-a|ε,计算终止，否则转②。 ③ 判断： x为所求根，停止计算 开始 输入n, ε,a,b 计算f (a),f (b) f(x)=0 f (x)与f (a)同号 x=a |b-a|ε 输出x,y 结束 x=b y y N N N y 流程图： 例1：用区间二分法求解方程x3-2x2-4x-7=0在 [3,4]内的根，精确到10-3 。 解： 连续 单调 f(x)在[3,4]内有且仅有一根。 取n=9 取4位小数进行运算，最后四舍五入保留3位 。 + 3.6328 3.640625 3.625 6 - 3.6289 3.6328125 3.625 7 - 3.63085 3.6328125 3.6289 8 -0.00328 3.631825 3.6328125 3.63085 9 + 3.640625 3.6