计算机图形学 (12)(精品·公开课件).ppt

计算机图形学 第八章 交互技术与用户接口 第十章 曲线与曲面 参数曲线基础 参数多项式曲线 三次Hermite曲线 Bezier曲线 参数多项式曲面 Bezier曲面 第十章 曲线与曲面 参数曲线基础 参数多项式曲线 三次Hermite曲线 Bezier曲线 参数多项式曲面 Bezier曲面 参数曲线基础（1/20） 曲线的表示形式 非参数表示 显式表示 隐式表示 参数曲线基础（2/ 20） 参数表示 参数的含义 时间，距离，角度，比例等等 规范参数区间[0，1] 矢量表示形式 例子：直线段的参数表示 参数曲线基础（3/20） 显式或隐式表示存在下述问题： 1）与坐标轴相关； 2）会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）； 4）不便于计算机编程。 3）对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非参数化函数表示； 参数曲线基础（4/20） 参数表示的优点： 1）以满足几何不变性的要求。 2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状 3）对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换。 4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。 （5）变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量，便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。 （6）规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。 （7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。 参数曲线基础（5/20） 参数表示与隐式表示的相互转换 例子 参数曲线基础（6/20） 正则点 导数不为零的点 正则曲线 所有的点都是正则点的曲线 斜率 直线的倾斜程度 一个坐标变量关于另一个坐标变量变化率 参数曲线基础（7/20） 切矢量 坐标变量关于参数的变化率 弧长 参数曲线基础（8/20） 弧长参数 单位切矢量 参数曲线基础（9/20） 主法矢量 主法矢量与切矢量垂直 主法线 副法矢量 副法线 Frenet标架 参数曲线基础（10/20） 曲率 曲线的弯曲程度 曲率半径 关于任意参数切矢量、法矢量和曲率的计算 参数曲线基础（11/20） 挠率 的绝对值等于副法线方向(或密切平面)对于弧长的转动率. 对于一般参数t，我们可以推导出曲率和挠率的计算公式如下： 参数曲线基础（12/20） 参数连续性 传统的、严格的连续性 称曲线P=P(t)在 处n阶参数连续，如果它在 处n阶左右导数存在，并且满足 记号 参数曲线基础（13/20） 几何连续性 直观的、易于交互控制的连续性 0阶几何连续 称曲线P=P(t)在 处0阶几何连续，如果它在 处位置连续，即 记为 1阶几何连续 称曲线P=P(t)在 处0阶几何连续，如果它在 处 ,并且切矢量方向连续 记为 参数曲线基础（14/20） 2阶几何连续 称曲线P=P(t)在 处0阶几何连续，如果它在 处 （1） （2）副法矢量方向连续 （3）曲率连续 例子 几何连续与参数连续的关系 参数曲线基础（15/20） 插值： 给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。 线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用一个线形函数：y=ax+b，近似代替，称为的线性插值函数。 抛物线插值:已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造一个函数 参数曲线基础（16/20） 使抛物线 在结点xi处与f(x)在xi处的值相等. 参数曲线基础（17/20） 逼近和光顺 逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，所构造的曲线为逼近曲线。 插值和逼近则统称为拟合。 光顺(Firing)指曲线的拐点不能太多。对平面曲线而言，相对光顺的条件是： a. 具有二阶几何连续性(G2)； b. 不存在多余拐点和奇异点； c. 曲率变化较小。 参数曲线基础（17/20） 参数化 参数t, 在[0, 1]区间的分割可以有无数种。因为P0、P1和P2可对应： 其中每个参数值称为节点(knot)。 对于一组有序的型值点Pi，确定一种参数分割ti，称之对这组型值点参数化。 参数曲线基础（18/20） 参数化常用方法有： 均匀参数化(等距参数化) 节点在参数轴上呈等距分布， +正常数。 累加弦长参数化 这种参数法如实反映了型值点按弦长的分布情况，能够克服型值点按弦长分布不均匀的情况下采用均匀参数化所出现的问题。 参数曲线基础（19/20） 向心参数化法 向心参数化法假设在一段曲线弧上