计算机图形学CG09(精品·公开课件).ppt

第9章 曲线与曲面(Curves and Surfaces) 本章目标 曲线的表示方法 重点掌握Bezier曲线 学会使用OpenGL的函数 主要内容 参数曲线基础 参数多项式曲线 三次Hermite曲线 Bezier曲线 Bezier曲面 OpenGL相关函数 9.1 参数曲线基础 曲线的表示形式 非参数表示和参数表示 非参数表示 显式表示 坐标间建立函数关系 不能建立多值曲线 隐式表示 看做是两曲面的交 坐标变量间可以多对1 9.1.1 曲线的表示形式 参数表示 参数方程 参数表示的矢量表示 t 规范到[0，1]: 矢量表示：P=[x, y, z]T ， P(t)=[x(t), y(t), z(t)]T t 可以表示时间、角度等量 9.1.1 曲线的表示形式 如：直线方程的矢量表示 如：圆 9.1.1 曲线的表示形式 参数表示的优点 容易确定曲线边界。由参数区间确定 表示形式不变性。不依赖于坐标系的选取 表示能力强。利于控制点来控制曲线形状，如后面将要学到的Bezier曲线 9.1.2 切矢量、法矢量、曲率 位置矢量 矢量表示： P＝P(t), 0≤t≤1 参数方程 导数 正则点：k＝1时，对t＝t0，P’(t0)≠0 正则曲线：所有点是正则点 9.1.2 切矢量、法矢量、曲率 切矢量 参数 t 递增一个单位时三个坐标变量 的变化量 弧长 对正则曲线，定义弧长： 9.1.2 切矢量、法矢量、曲率 弧长参数表示 9.1.2 切矢量、法矢量、曲率 单位切矢量 记T(s)为P＝P(s)上任意一点的切矢量。则T(s)为单位切矢量 9.1.2 切矢量、法矢量、曲率 法矢量 主法矢量：与切矢量垂直 副法矢量 Frenet标架 9.1.2 切矢量、法矢量、曲率 曲率 曲线的弯曲程度 曲率半径 9.1.3 参数连续性与几何连续性 参数连续性 传统的、严格的连续性 曲线 P = P(t)在 t＝t0 处n阶参数连续，如果它在 t0 处n阶左右导数存在，并且满足 记为Cn 9.1.3 参数连续性与几何连续性 几何连续性 直观的、易于交互控制的连续性 0阶几何连续 称曲线P=P( t ) 在 t=t0 处0阶几何连续，如果它在 t0 处位置连续，即 记为：GC0 1阶几何连续 称曲线 P=P(t) 在 t = t0 处1阶几何连续，如果它在 t0处 GC0 ，并且切矢量方向连续，即 记为： GC1 9.1.3 参数连续性与几何连续性 几何连续性（续） 2阶几何连续* 称曲线 P=P(t) 在 t＝t0 处2阶几何连续，如果它在 t0 处 （1） GC1 （2）副法矢量方向连续 （3）曲率连续 第9章 曲线与曲面 参数曲线基础 参数多项式曲线 三次Hermite曲线 Bezier曲线 Bezier曲面 OpenGL相关函数 9.2 参数多项式曲线 为什么采用参数多项式曲线？ 表示最简单 理论和应用最成熟 n次多项式曲线 9.2 参数多项式曲线 矩阵表示 矢量表示 加权和形式 缺点 Pi 没有明显的几何意义 Pi 与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难 9.2 参数多项式曲线 参数多项式曲线的矩阵表示（续） 矩阵表示 矩阵分解 几何矩阵 G = [G0 G1 … Gn] 控制顶点 Gi 基矩阵M：MT 确定了一组基函数 9.2 参数多项式曲线 参数多项式曲线的矩阵表示（续） 例子：直线段的矩阵表示 9.2 参数多项式曲线 9.2 参数多项式曲线 参数多项式曲线的生成（续） Horner迭代算法 第9章 曲线与曲面 参数曲线基础 参数多项式曲线 三次Hermite曲线 Bezier曲线 Bezier曲面 OpenGL相关函数 9.3 三次Hermite(厄密多)曲线 三次Hermite曲线的定义 给定4个矢量P0, P1, R0, R1 ，称满足下列条件的三次多项式曲线 P(t) 为Hermite 曲线 9.3 三次Hermite曲线 矩阵表示 9.3 三次Hermite曲线 合并 解（不唯一） 9.3 三次Hermite曲线 基矩阵与基函数（调和函数） 9.3 三次Hermite曲线 形状控制 改变端点位置矢量P0，P1 调节切矢量R0，R1的方向 改变切矢量R0，R1的长度 9.3 三次Hermite曲线 几何变换 仿射不变性：对曲线的几何变换等价于对P0，P1，R0，R1做几何变换 曲线生成 取型值点：ti 对每个ti，计算 P（ti） 第9章 曲线与曲面 参数