计算机图形学第九章(精品·公开课件).ppt

第九章 曲线曲面的表示 Bernstein基函数 Bézier曲线 在空间给定n+1个点P0，P1，…，Pn，称下列参数曲线为n次的Bézier曲线。 称折线P0P1…Pn为P(t)的控制多边形；称P0，P1，…，Pn各点为P(t)的控制顶点。 由控制顶点勾勒出来的Bézier曲线 Bézier曲线的性质 端点的位置 端点的切线 端点的曲率 凸包性 几何不变性 交互能力 保凸性 变差缩减性 端点的位置 P0和Pn是曲线的两个端点。 P(0)=P0，P(1)=Pn 端点的切线 Bézier曲线在P0点与边P0 P1相切，在Pn点与边Pn-1 Pn相切，有下式成立： 端点的曲率 凸包性 Bézier曲线P(t)位于其控制顶点P0，P1，…，Pn的凸包内。 也就是说，Bézier曲线P(t)位于其控制顶点P0，P1，…，Pn所围起来的凸多边形内。 几何不变性 某些几何特性不随着一定的坐标变换而改变的性质称为几何不变性。 由控制顶点P0，P1，…，Pn 所确定的Bézier曲线的形状和位置与坐标系的选取无关，所以具有几何不变性。 交互能力 要改变P(t)的形状，只要改变控制顶点P0，P1，…，Pn的位置就可以了。 保凸性 如果平面上的凸控制多边形能导致所产生的曲线为凸曲线，则称这个生成曲线的方法具有保凸性。 当连接PnP0后，P0P1…Pn形成的如果是一个平面内的凸多边形的话，那么用其确定的Bézier曲线一定是凸曲线，所以说Bézier曲线的生成方法具有保凸性。 变差缩减性 Bézier曲线如果是一条平面曲线的话，那么它与任一直线的交点个数比其控制多边形的交点个数要少。 此性质反映了Bézier曲线比控制多边形波动得小，也就是Bézier曲线比其控制多边形更光顺。 Bézier曲线的拼接 不同层次上拼接的要求 GC0连续：两条线段在连接点处首尾相连，称它们在连接点处达到GC0连续，又称为零阶几何连续。 不同层次上拼接的要求 GC1连续：两条线段在连接点处达到GC0连续，且切向相同，称它们在连接点处达到GC1连续，又称为一阶几何连续。 不同层次上拼接的要求 GC2连续：两条线段在连接点处达到GC1连续，且它们的主法线方向一致且曲率相等，称它们在连接点处达到GC2连续，又称为二阶几何连续。 拼接时的假设 由不同层次上拼接的要求在Bézier曲线拼接中的具体要求 达到GC0连续的充要条件：Pn＝Q0 达到GC1连续的充要条件： Pn＝Q0 均不为零且同向。 由不同层次上拼接的要求在Bézier曲线拼接中的具体要求 达到GC2连续的充要条件： Pn＝Q0 均不为零且同向。 要求曲率相等和主法线方向一致，即Pn-2， Pn-1，Pn，Q0，Q1，Q2六点共面； Pn-2和Q2或同在直线Pn-1Q1上，或位于过Pn-1Q1的直线的同侧，且满足： Bézier曲线的离散生成 Bézier曲线的中点分割 P(t)经中点分割得到P(t)(0t0.5)和P(t)（0.5t1) 递推式 式中i=r,r+1,…,n， 在曲线P(t)上。 三次Bézier曲线分割的递推式 三次Bézier曲线分割的几何意义 三次Bézier曲线的多次分割 经过一次分割后的Bézier曲线的控制顶点可以记为 。 再次分割后其控制多边形可以记作 同样可以继续分割下去，第k次分割后的控制多边形可以记作 三次Bézier曲线分割的收敛性 当 时，割角产生的多边形序列 一致收敛于P(t)。 Bézier曲线生成的具体方法 如果Bézier曲线P(t)到其两端点的连线P0P3的距离d(P(t),P0P3)小于指定的很小正数e时，就用线段P0P3代替曲线段P(t)； 否则继续割角； 具体实现时，d(P(t),P0P3)很难求得，但由凸包性有下式成立： 所以具体计算时计算上式右端的值。 Bézier曲面的定义 在空间给定(n+1)X(m+1)个点Pij(i=1,2,…，n；j=0,1,…,m)，称下列张量积形式的参数曲面为nXm次的Bézier曲面。 称点Pij为P(u,v)的控制顶点；把两组多边形Pi0Pi1…Pim(i=0,1,…,n)和P0jP1j…Pnj(j=0,1,…,m)组成的网称为P(u,v)的控制网格，记作｛Pij｝。 Bézier曲面的性质 端点的位置 边界线的位置 端点的切平面 端点的法向 凸包性 几何不变性 交互能力 易拼接性 易离散性 端点的位置 P00，P0m，Pn0，Pnm就是曲面P(u,v)的四个端点。 P00＝P(0,0) P0m＝ P(0,1) Pn0＝ P(1,0) P