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矩阵特点值与特点向量
第七章 矩阵特征值与特征向量的计算
物理、力学中的振动问题,弹性结构中的稳定性问题和许多工程实际问题,最终归结为求矩阵的特征值与特征向量,即求数及非零向量,满足
其中数叫做矩阵特征值,叫做对应特征值的特征向量。
由线性代数的理论知:为特征值的充要条件是为特征方程
的根。特征方程是关于特征值的次代数方程,在复数域内共有个根。并且有
(1)
(2)
当较大时,如果按行列式展开的方法求的零点,其工作量是巨大的,在实用中往往难以实现。因此,有必要研究有效的计算矩阵特征值的数值方法,本章将介绍迭代方法和相似变换方法。
第一节 幂法与反幂法
一、幂法
矩阵的按模最大的特征值称为主特征值,许多实际问题,往往只要求出矩阵的主特征值。幂法就是求矩阵的主特征值与对应特征向量的一种迭代方法。
设矩阵有一完全的特征向量组,即特征向量线性无关。且所对应的特征值满足主特征值占优
(7.1)
任取一个非零向量,构造向量序列
(7.2)
以下利用此序列求主特征值及所对应的特征向量。由于迭代序列实质上是由矩阵各次幂作用于初始向量而形成的,故称此迭代方法为幂法。
因为构成的一个基底,所以对,存在一组不全为零的数,使得
假定,按迭代公式(7.2)得
记,则上式简化为
(7.3)
由式(7.1)得,则当时,,于是当充分大时
(7.4)
且
因此,就是的属于主特征值的特征向量的近似值。用表示向量的第个分量,由式(7.3)得
故
(7.5)
这说明两相邻迭代分量的比值收敛于主特征值。
观察式(7.4),当时,的不等于零的分量,将随而无限增大,造成“溢出”;而当时,的各分量又将随而趋于零。所以,必须对上述幂法进行修正。
二、实用幂法
从非零向量出发,对迭代序列(7.2)作如下修正
(7.6)
式中表示向量的绝对值最大的分量。则
(7.7)
(7.8)
事实上
由于,所以。于是
同理
例7.1 试用幂法计算实对称矩阵
的主特征值及其所对应的特征向量,要求。
解 取初始向量,应用式(7.6)进行迭代,部分迭代结果见表7.1。
表7.1
0
(1,1,1)
5
(-0.179803366,-0.,1)
-60.43×10-1
10
(-0.081673107,-01)
-60.13×10-1
15
(-0.055174692,-01)
-60.34×10-2
20
(-0.048413347,-01)
-60.87×10-3
25
(-0.046713405,-01)
-60.22×10-3
30
(-0.046287596,-01)
-60.55×10-4
35
(-0.046181038,-01)
-60.14×10-4
40
(-0.046154378,-01)
-60.34×10-5
45
(-0.046147708,-01)
-60.86×10-6
50
(-0.046146040,-01)
-60.21×10-6
55
(-0.046145622,-01)
-60.54×10-7
60
(-0.046145518,-01)
-60.13×10-7
61
(-0.046145509,-01)
-60.10×10-7
62
(-0.046145503,-01)
-60.77×10-8
从以上幂法的论证过程可以看出:其收敛速度依赖于,这个比值愈小,收敛速度愈快;这个比值愈接近1,收敛速度愈慢。例7.1的收敛速度就较慢,经验证。
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