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矩阵特点值与特点向量.docVIP

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矩阵特点值与特点向量

第七章 矩阵特征值与特征向量的计算  物理、力学中的振动问题,弹性结构中的稳定性问题和许多工程实际问题,最终归结为求矩阵的特征值与特征向量,即求数及非零向量,满足  其中数叫做矩阵特征值,叫做对应特征值的特征向量。 由线性代数的理论知:为特征值的充要条件是为特征方程  的根。特征方程是关于特征值的次代数方程,在复数域内共有个根。并且有 (1)  (2) 当较大时,如果按行列式展开的方法求的零点,其工作量是巨大的,在实用中往往难以实现。因此,有必要研究有效的计算矩阵特征值的数值方法,本章将介绍迭代方法和相似变换方法。 第一节 幂法与反幂法 一、幂法 矩阵的按模最大的特征值称为主特征值,许多实际问题,往往只要求出矩阵的主特征值。幂法就是求矩阵的主特征值与对应特征向量的一种迭代方法。 设矩阵有一完全的特征向量组,即特征向量线性无关。且所对应的特征值满足主特征值占优  (7.1) 任取一个非零向量,构造向量序列  (7.2) 以下利用此序列求主特征值及所对应的特征向量。由于迭代序列实质上是由矩阵各次幂作用于初始向量而形成的,故称此迭代方法为幂法。 因为构成的一个基底,所以对,存在一组不全为零的数,使得  假定,按迭代公式(7.2)得  记,则上式简化为  (7.3) 由式(7.1)得,则当时,,于是当充分大时  (7.4) 且 因此,就是的属于主特征值的特征向量的近似值。用表示向量的第个分量,由式(7.3)得  故  (7.5) 这说明两相邻迭代分量的比值收敛于主特征值。 观察式(7.4),当时,的不等于零的分量,将随而无限增大,造成“溢出”;而当时,的各分量又将随而趋于零。所以,必须对上述幂法进行修正。 二、实用幂法 从非零向量出发,对迭代序列(7.2)作如下修正  (7.6) 式中表示向量的绝对值最大的分量。则  (7.7)  (7.8) 事实上  由于,所以。于是  同理  例7.1 试用幂法计算实对称矩阵  的主特征值及其所对应的特征向量,要求。 解 取初始向量,应用式(7.6)进行迭代,部分迭代结果见表7.1。 表7.1 0 (1,1,1) 5 (-0.179803366,-0.,1) -60.43×10-1 10 (-0.081673107,-01) -60.13×10-1 15 (-0.055174692,-01) -60.34×10-2 20 (-0.048413347,-01) -60.87×10-3 25 (-0.046713405,-01) -60.22×10-3 30 (-0.046287596,-01) -60.55×10-4 35 (-0.046181038,-01) -60.14×10-4 40 (-0.046154378,-01) -60.34×10-5 45 (-0.046147708,-01) -60.86×10-6 50 (-0.046146040,-01) -60.21×10-6 55 (-0.046145622,-01) -60.54×10-7 60 (-0.046145518,-01) -60.13×10-7 61 (-0.046145509,-01) -60.10×10-7 62 (-0.046145503,-01) -60.77×10-8 从以上幂法的论证过程可以看出:其收敛速度依赖于,这个比值愈小,收敛速度愈快;这个比值愈接近1,收敛速度愈慢。例7.1的收敛速度就较慢,经验证。

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