奥数专题~定义新运算(带答案~完美排版~).docVIP

- 定义新运算 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 　　如：2＋3＝5 　　 2×3＝6 　　都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同. 　　我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”. 例1、设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b， 　　①求 3△2， 2△3； 　　②这个运算“△”有交换律吗？ 　　③求（17△6）△2，17△（6△2）； 　　④这个运算“△”有结合律吗？ 　　⑤如果已知4△b＝2，求b. 分析：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍. 解：① 3△2＝3×3－2×2＝9－4＝5 　　 2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0. 　　②由①的例子可知“△”没有交换律. ③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17－2×6＝39；再计算 第二步39△2＝3 × 39－2×2＝113， 所以（17△6）△2＝113. 对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6－2×2＝14， 其次17△14＝3×17－2×14＝23， 　　所以17△（6△2）＝23. ④由③的例子可知“△”也没有结合律. ⑤因为4△b＝3×4－2×b＝12－2b，那么12－2b＝2，解出b＝5. 例2、定义运算※为 a※b＝a×b－（a＋b）， ①求5※7，7※5； 　　②求12※（3※4），（12※3）※4； 　　③这个运算“※”有交换律、结合律吗？ ④如果3※（5※x）＝3，求x. 　　解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35－12＝23，7※ 5＝7×5－（7＋5）＝35－12＝23. 　　②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43， 　　所以 12※（3※4）＝43. 对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21， 其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59. ③由于a※b＝a×b－（a＋b）； 　　b※a＝b×a－（b＋a） 　　 ＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律） 　　所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律. 　　由②的例子可知，运算“※”没有结合律. 　　④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5； 3※（5※x）＝3※（4x－5） ＝3（4x－5）－（3＋4x－5） 　　 ＝12x－15－（4x－2） 　　 ＝ 8x－ 13 那么 8x－13＝3 解出x＝2. 例3、定义新的运算a ? b＝a×b＋a＋b. 　 ①求6 ? 2，2 ? 6； 　　 ②求（1 ? 2）? 3，1 ?（2 ? 3）； ③这个运算有交换律和结合律吗？ 解：① 6 ? 2＝6×2＋6＋2＝20，2 ? 6＝2×6＋2＋6＝20. ②（1 ? 2）? 3＝（1×2＋1＋2）? 3 ＝5 ? 3 ＝5×3＋5＋3 ＝23 1 ?（2 ? 3）＝1 ?（2×3＋2＋3） ＝1 ? 11 ＝1×11＋1＋11 ＝23. ③先看“?”是否满足交换律： a ? b＝a×b＋a＋b b ? a＝b×a＋b＋a＝a×b＋a＋b（普通加法与乘法的交换律） 所以a ? b＝b ? a，因此“?”满足交换律. 　 再看“?”是否满足结合律： （a ? b）? c＝（a×b＋a＋b）? c ＝（a×b＋a＋b）×c＋a×b＋a＋b＋c ＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c. a ?（b ? c）＝a ?（b×c＋b＋c） ＝a×（b×c＋b＋c）＋a＋b×c＋b＋c