《1第一讲角动量理论(课件4)》精选课件.pptVIP

特 例 Example * 第 四 讲 角 动 量 理 论 第 一 讲 2012-2-16 物理学专业2009级 定义：若算符 满足以下关系 则称算符 为角动量算符 一、角动量的一般性质 1．角动量的一般定义及其对易关系 or （1） 角动量的平方算符 （2） 2．阶梯算符 （4） （3） （5） （6） （7） 3． 的本征值和本征矢 （10） （9） （8） 由（6）式，即 得 （11） 由(11)式，知 正比于 下面直接用角动量算符的对易关系求 及 的本征值和本征矢。 可见， 和 分别对 的本征矢 作用的结果，使它变为 属于本征值 的本征矢 ，其相应的本征值分别比原来的本征值增加 和减少 。所以， 和 分别称为上升算符和下降算符，统称为阶梯算符。 （12b） 即 （12a） 当给定一个本征矢 时，我们分别使用 和 对它反复作用，可得状态： 即 （13） （14） （15） （16） 可见， 的取值受到限制，当 给定时， 的取值存在一个上限 和下限 ，而 在 对 反复作用， 取值总可达到上界 ，以致使 在 对 反复作用， 取值总可达到下界 ，以致使 下面求量子数 和 的取值。 但我们不能将此过程无限地重复下去。 原因是 按照（4）式 分别对 和 作用，并利用（15）和（16）有 （17b） （17a） 由于 因此 （18a） （18b） 由（18）两式，得出 （19） （20） 联合（19）、（20）式，则有 （21） 设从本征矢 经 作用 次达到本征矢 而 （22） 由（14）、（21）和（22）式，得到 的取值 （23） 由（18a）和（21）式，得到 的取值 讨论 【1】. 以前，我们讨论的轨道角动量和自旋角动量是这里讨论问题的特例： 的本征值： — 角量子数 的本征值： — 磁量子数 本征方程： （24） （25） 对于轨道角动量： 即为 ，角量子数 即取为 的本征方程： 对于自旋为 的自旋角动量 的本征方程 的本征方程： 即为 ，角量子数 即取为 ， 即为 的本征方程 将（12）式写成 （26a） （26b） 取（26a）的厄米共轭，并利用 ，则有 将（27）式左乘（26a），得 （27） 利用（4）式： ，上式得到 【2】. 现在求（12）式中的常数 和 同理可得 取 最后得到 统一写成： （29） 4． 表象中，角动量算符的矩阵形式 【1】. 的矩阵 式（29）是一个非常有用的公式 （30） 【2】. 的矩阵 （31） 【3】. 的矩阵 （32） 【4】. 的矩阵 （33） (34) 【1】. 当 为轨道角动量 时， 取 时， ，由（30）、（31）、（32）和（34）可分别写 的矩阵 。 、 、 、 取 ， 的矩阵： 、 、 、 【2】. 当 为自旋角动量 时， ， 取 ，则 的矩阵 ， ， ， 设系统的哈密顿量 （1）求能量本征值和能量本征函数. （2）系统处于能量本征态，求 Solve：（1） （2）定义： 能量本征函数： 能量本征值： 已知 同理： *