第四章向量的内积与-二次型(华农线代~).docVIP

- 第四章 向量的内积与二次型 4.1 向量的内积 4.1.1向量的内积与模 定义4.1 设有n维向量 ，， 称++…+为与的内积，记为[,],即 [,]=++…+=. 内积是向量的一种运算，可用矩阵记号表示，当与都是列向量时，有 [,]=T. 向量的内积满足下列运算规律（其中，，都为n维向量，为实数）： （1）[,]=[，]； （2）[,]=[,]； （3）[+，]=[,]+[,]. 定义4.2 数称为向量=（）T的模（或长度），记为，即 ===. 当=1时，称为单位向量. 当向量0时， 是单位向量. ==1 注意：式 给出了求向量的单位向量的方法. 关于内积和模的关系，有如下重要的定理： 定理4.1 对任意n维向量α和β，恒有|[,]|≤. 向量的模具有下述性质： 非负性：当0时，0；当=0，=0. 齐次性：=. 三角不等式：+. 4.1.2 两个向量的夹角和距离 定义4.3 当0时， =arccos 称为n维向量与的夹角，其中0. 这时有 . 定义4.4 规定n维向量=（）T与=（）T的距离为 = 根据定义4.4，n维向量的模就是与零向量的距离。 根据n维向量的三角不等式，恒有+，于是 + 4.2 正交向量组与正交矩阵 4.2.1 正交向量组 定义4.5 如果n维向量与的内积=0，则称与正交 若一个向量组中每一个向量均不为零，且任意两个向量都正交，则该向量组称为正交向量组. 定理4.2 若n维向量组1，2，…，r是正交向量组，则1，2，…，r线性无关. 在一个正交向量组中，如果每个向量都是单位向量，则称这个向量组为标准正交向量组. 定理4.3 设n维向量组1，2，…，m线性无关，令： ， ， ， … ， 则，，…，是正交向量组，且与1，2，…，m等价. 如果令 （i=1,2，…,m）, 则1，2，…，m是与1，2，…，m等价的标准正交向量组 上述定理4.3从线性无关组1，2，…，m导出正交向量组，，…，的过程称为施密特正交化过程，此方法称为施密特正交化方法.它不仅满足，，…，与1，2，…，m等价，还满足：对任何k（1），向量组，，…，与1，2，…，k等价.通常将，，…，转化为到的过程称为向量的单位化. 4.2.2 正交矩阵与正交变换 定义4.6 如果n阶方阵A满足ATA=I,则称A为正交矩阵. 由定义4.6可得：正交矩阵A可逆，且A-1=AT. 定理4.4 方阵A是正交矩阵的充分必要条件是A的列（行）向量是标准正交向量组. 定义4.7 设 ，， 则等价于 上述称为线性变换；若为可逆矩阵，则为可逆线性变换；若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换。 定理4.5 正交变换不改变向量的内积，从而不改变向量的模、夹角和距离。 4.3 实对称矩阵 定义4.8 若n阶方阵A=（）满足： , 则A称为对称矩阵；若为实数，则A称为实对称矩阵. 定理4.6 实对称矩阵的特征值为实数. 定理4.7 设，是实对称矩阵A的两个特征值，，是对应的特征向量，若，则与正交. 定理4.8 若是实对称矩阵A的k重特征值，则存在k个对应于的线性无关特征向量. 定理4.9 设为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵，使 其中，，…，是的特征值. PS: 在实对称矩阵中，不同特征值根对应的特征向量正交，故只需对重根所对应的特征向量进行施密特正交化. 任意实对称矩阵都可以用正交变换方法化为对角矩阵 4.4 二次型 4.4.1 二次型及其矩阵表示 平面二次函数中，其左端函数 满足 ， 这样函数称为二次齐次函数. 定义4.9 含有n个自变量的二次齐次函数 称为二次型.当为复数时，称为复二次型；当为实数时，称为实二次型. 规定，则有 2=， 于是=++ = 记A=(),则上面的二次型可以记作： 由于，所以是实对称矩阵.容易看出，A的对角元素是中项的系数，而非对角元素是交叉项系数的一半.实二次型与实对称矩阵一一对应(即互相唯一确定).这里，对称矩阵称为二次型的矩阵，也把称为对称矩阵的二次型；矩阵的秩定义为二次型的秩. Tips：设为阶方阵，，则二次型的矩阵. 4.4.2 二次型的标准型 定义4.11 二次型经过线性变换后所得到的平方和 称为这个二次型的一个标准型. 其对应的矩阵是对角矩阵： 对于一般的二次型，主要问题是：寻求可逆的线性变换或正交变换，使二次型变成标准型。 设可逆的线性变换，则 其中 定义4.11 设A，B为n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵C,使得，则称矩阵A与B合同，称矩阵C为合同变换矩阵. 定义表明，若A与B合同，则A与B等价，反之不然。 定理4.10 对应任意可逆矩阵C，令，如果A为对称矩阵，则B亦为对称矩阵，且R(A)=R(B). 二次型经过不同的可逆线性变换后所得到的标准形是不同的，但可以证明其正平方项与负平方项的项数是不