《54柯西不等式与排序不等式课件(人教A版选修4-5)》精选课件.ppt

第三讲 一 二维形式的柯西不等式 例4：设a、b、c为正数且各不相等。 求证： 例5 若abc 求证： 例6：若 求证： 三 排序不等式 例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需要ti分，假定这些ti各不相同。 问：只有一个水龙头时，应该如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？ 解：总时间(分）是10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式，当t1t2…t9t10时， 总时间取最小值。 即：按水桶的大小由小到大依次接水， 则10人等候的总时间最少。 最少的总时间是: 10t1+9t2+…+2t9+t10 例2 设a1,a2,…,an是n个互不相等的正整数， 求证： 证明：设b1,b2,…,bn是a1,a2,…an的一个排列， 且有 b1b2…bn 因为b1,b2,…,bn是互不相等的正整数， 所以b1≥1,b2≥2,…,bn≥n. * * * 柯西不等式与排序不等式 若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立. 定理1（二维形式的柯西不等式）: 你能证明吗？ 推论 向量形式： 设α,β是两个向量,则 当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立. 定理2: （柯西不等式的向量形式） x y P1(x1,y1) P2(x2,y2) 0 x y P1(x1,y1) P2(x2,y2) 0 根据两点间距离公式以及三角形的边长关系: 观察 定理３（二维形式的三角不等式） 设　　　　　　　　　　，那么 例题 例1.已知a,b为实数,证明： (a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2 例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证 练习： 作业 第37页,第1,5,6题 二 一般形式的 柯西不等式 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 二维形式的柯西不等式）: 三维形式的柯西不等式）: n维形式的柯西不等式）: 定理 设 是实数，则 当且仅当 (i=1,2,…,n) 或 存在一个 数k使得 (i=1,2,…,n) 时等号成立。 以上不等式称为一般形式的柯西不等式。 一般形式的三角不等式 例1 已知 都是实数，求证： 例2 已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明： ab+bc+cd+da. 例3 已知x+2y+3z=1,求 的最小值。 又a、b、c各不相等，故等号不能成立 ∴原不等式成立。 ∴ 分析：左端变形 ∴只需证此式 即可 反序和≤乱序和≤顺序和 又因 由排序不等式，得：