《61-62线性方程组迭代解法》精选课件.pptVIP

第六章 线性方程组迭代解法 内容提要 6.1 概 论 6.2(I) Jacobi 迭代法 6.2(II) Gauss-Seidel 迭代法 6.3 迭代法的收敛性 6.4 SOR法 本章学习要点 概 论 引子 迭代法的基本思想 迭代法的主要步骤 引子 迭代法的基本思想 迭代法的主要步骤 §6.2(I) Jacobi迭代法 数学问题的描述 Jacobi迭代法的主要步骤 数学问题的描述 6.2 雅可比( Jacobi ) 迭代法 迭代矩阵 ; 每迭代一次主要是计算一次矩阵乘向量 ； 计算过程中,初始数据A始终不变; 计算过程中涉及到的中间变量 及 ,需要两组工作单元x(n),　y(n)来存储. Jacobi迭代法的主要步骤 对于Jacobi迭代法,它的每一步设定计算顺序为 在计算迭代值 时, 利用了它前面已计算的值 而此时 也已计算, 但是Jacobi迭代 法并没有充分及时地利用这些信息, 为此我们得到改 进的格式 , 称为高斯—塞德尔(Gauss–Seidel)迭代 公式。 §6.2(II) Gauss-Seidel迭代法 算法分析与描述 实例求解 算法分析与描述 实例求解 Please wait for a while!I will be back soon! * * 直接法得到的解是理论上准确的，但是我们可以看得出，它们的计算量都是n3数量级，存储量为n2量级，这在n比较小的时候还比较合适（n400），但是对于现在的很多实际问题，往往要我们求解很大的n的矩阵，而且这些矩阵(系数矩阵)往往是含有大量的0元素。对于这类的矩阵，再用直接法时就会耗费大量的时间和存储单元。另一方面,实际计算结果精度有时无法保证. 主要原因是在多次消去、回代过程中四则运算的误差积累与传播无法控制. 因此我们有必要引入一类新的方法：迭代法。 返回节 迭代法是解线性方程组的一种重要的实用方法，特别适用于求解在实际中大量出现的，系数矩阵为稀疏阵的大型线性方程组。 迭代法的基本思想是去构成一个向量序列{X(k)}，使其收敛至某个极限向量X* ，并且X*就是要求解的方程组： AX = b 的准确解。 返回节 解线性方程组迭代法的主要步骤是: 1.把所给的线性方程组AX=b 化成如下形式的同解方程组 X=BX+f （6-1) 2. 给出初始向量 ,按迭代公式 X(k+1)=BX(k)+f (k=0,1,2,…) （6-2) 进行计算。 如果按上述迭代公式所得到的向量序列{ X (k)} 收敛于某个向量X * ,则X* 就是方程组 AX =b 的 解，并称此迭代法收敛。否则，就叫不收敛或发 散。 式(6-1)、(6-2)中的矩阵B ，称为迭代矩阵。 本章重点介绍三个迭代法，即： 1）Jacobi迭代法, 2）Gauss-Seidel 迭代法, 3）超松弛迭代法（SOR法） 及其收敛性。 返回章 设有线性方程组 AX =b 即 （6-3） 其中 A=(aij)nn 非奇异（?A??0），且a ii≠0 (i=1,2,…,n), 由式 （6-3）得 （6-4） 返回引用 若记 则有 A=D-L-U成立，而式（6-4）的矩阵形式为 DX =（L+U）X+b （6-5） 等式两边乘以D-1，得 X= D-1（L+U）X+ D-1b （6-6） 由此得到迭代公式 　　　　 X（k+1）= D-1（L+U）X（k）+ D-1b （6-7） 即 　　　　　　　　　　　　　 （6-8） 这种迭代法，称为Jacobi迭代法。 返回节 Jacobi 迭代法的计算步骤(5步)为： ① k=1；输入最大迭