《大学物理薛定谔方程》精选课件.pptVIP

* §27.1 薛定谔方程 1.一维含时薛定谔方程 ——是质量为 m 的粒子在势场 U（x，t）中运动的波函数。 薛定谔建立的适用于低速情况的、描述微观粒子在外力场中运动的微分方程,称为薛定谔方程。 说明 不是由基本原理、定律等严密推导而得，是与波动现象类比而建立起来的，正确与否，只能由实验来验证。 ——一维定态薛定谔方程 在恒定势场中，U 与 t 无关，U=U（x），用分离变量法得： 2.一维定态薛定谔方程 E: 粒子能量 ; ? (x): 定态波函数. 说明 定态: 概率密度在空间上的分布稳定. 3.波函数的标准条件： 单值、连续、有限. 4.波函数的性质： （1）ψ与 Cψ描写同一状态(C为常量); 因为粒子出现的概率仅具有相对意义。 （2）|ψ|2 满足归一化条件: 由归一化条件 满足归一化条件的定态波函数 可得 例： §27.2一维无限深方势阱中的粒子 0 x a 区域， U (x) = 0定态薛定谔方程为 x 0 a U( x ) ? ? 势能函数 U (x) = 0 0 ≤ x ≤ a U (x) = ∞ 0 x 或 x a 0 x 或 x a 区域∵U (x) = ∞ 令: 根据波函数的连续性: 归一化后: ——能量量子化 1. 能量量子化和定态波函数 基态 n 1 激发态 波函数 x 0 a 2.粒子在势阱内出现概率密度分布 粒子在0到 a 范围内出现概率处处相等。 量子观点： 0 a =1 =2 =3 =4 n n n n 0 a 当n很大时,量子概率分布就接近经典分布 经典观点： 3.一维无限深势阱粒子的驻波特征 波函数 x 0 a 4.有限深势阱，粒子出现的概率分布 如果势阱不是无限深，粒子的能量又低于势璧，粒子在阱外不远处出现的概率不为零。 0 a 经典理论无法解释，实验得到证实。 例：一维无限深方势阱中粒子的波函数 试求粒子处于n=3的状态时，在x=0到x=a/3之间找到粒子的概率。 解：概率密度为: 粒子处于n=3的状态时，在x=0到x=a/3之间找到粒子的概率: 例3：设质量为m 的微观粒子处在宽为a 的一维无限深方势阱中,求：(1)粒子在 0 x a/4 区间中出现的概率, 并对n = 1 和n =?的情况算出概率值。(2) 在哪些量子态上, a/4 处的概率密度最大? 解：(1) 概率密度 粒子在 0 x a/4 区间中出现的概率 （2）a/4 处的概率密度 极大值对应 n = 2，6，10，··· 等量子态。 §27.3 势垒穿透* 1. “半无限深方势阱”中的粒子。势阱的势能函数： U Ｅ Uo ∞ 0 a x 势能函数 U ( x ) = U0 　x a （Ⅲ区） U ( x ) = ∞ x 0 （Ⅰ区 ） U ( x ) = 0 0≤ x ≤ a （Ⅱ区） x 0 区域∵U (x) = ∞ 0 x a 区域∵ U (x) = 0 令 x a 区域∵ U (x) =U0 令: 根据波函数的连续、有界条件则D=0。 粒子的波函数和概率密度 0 势 垒 U0 O a U 2.势垒穿透 经典理论： 1.E U0的粒子， 能越过。 2.E U0的粒子，不能越过。 量子理论： 1.E U0 的粒子，也存在被弹回的概率 —— 反射波。 2.E U0 的粒子，也可能越过势垒到达另一区—— 隧道效应。 隧道效应 3.越过势垒的概率与下式成正比： 扫描隧道显微镜(STM) 原理： 利用电子的隧道效应。 金属样品外表面有一层电子云，电子云的密度随着与表面距离的增大呈指数形式衰减，将原子线度的极细的金属探针靠近样品，并在它们之间加上微小的电压，其间就存在隧道电流，隧道电流对针尖与表面的距离极其敏感，如果控制隧道电流保持恒定，针尖在垂直于样品方向的变化，就反映出样品表面情况。 *