《常微分方程44常系数齐线性方程组》-精选·课件.ppt

定理: 若 只有一个特征根 则 例 求解微分方程组 解: 故 是 的三重特征根. 作业: P227 1 (4,7,10)，2 (3,6)，5，8 (2) 4.4 常系数齐次线性微分方程组 本节研究常系数齐次线性微分方程组 解的情况，特别是方程基本解组的情形， 所以方程组的解在区间 上存在唯一. 即寻找n个线性无关的解 常数矩阵 在 上连续， 一 系数矩阵A有单特征根时的解 使 是对角矩阵, 设矩阵 有n个不同特征根， 由线性代数知识，一定存在一个非奇异 矩阵 , 这里 是矩阵A的特征根. 记 ,设 对应的特征向量， 为矩阵 的特征根 作线性代换 并代入方程可得 写成纯量形式,可得方程组 积分上面各个方程得解: 因此方程 通解为 将y代入 可得方程组 的基解矩阵为 定理4.13 设矩阵A有n个不同的特征根 的通解为 且其相对应的特征向量为 ,则方程组 例1 求解方程组 解 先求矩阵A的特征根 因此,矩阵A的特征根为 对 可求得其特征向量 对 也可求 得其相应的特征向量为 因此,方程组的通解为 例2 求解方程组 解 该方程对应的矩阵A的特征根满足 对特征根 其相对应的特征向量 满足 特征向量 特征根 对应的特征向量分别为 线性齐次方程组的通解为 若矩阵A 的特征根具有复特征根的情形, 这时方程就会出现实变量数复值函数解. 求出方程组的n个实的线性无关的实值解 定理2 若实系数线性齐次方程组 有 复值解 则其实部 和虚部 都是解. 证明 是方程组 的解, 即 和 都是齐次方程组的解. 实矩阵A有复特征根一定共轭成对出现. 对应的特征向量也与 对应的特征向量共轭, 因此齐次方程组出现一对共轭的复值解. 如果 是特征根, 也是特征根. 则共轭复数 例3 求解方程组 解 系数矩阵A的特征方程为 故有特征根 且是共轭的. 对应的特征向量 满足方程 取基础解系（非零解）： 原微分方程组有解 原方程组的通解 例4 求解方程组 解 该方程组的系数矩阵 特征方程 故原方程有复值解 取 的实部和虚部,得原方程的两个线性无关解。 故原方程组的通解为 是 对应的特征子空间的一个基.则存在 且 对应的特征子空间维数为1, 定理 设 矩阵 A 有一个重特征根 重数 的向量 使得 和 是齐次线性方程组两个线性无关的解. 二 系数矩阵A 有重特征根时的解 把 代入方程 证明 只需证明 是齐次线性方程组的解，且 与 线性无关。 因为 对应的特征向量， 是矩阵A的特征根 ，所以 且 满足 这说明 是齐次线性方程组的解. 下面证明 和 线性无关. 事实上，若存在常数 和 满足 两边乘以 得 两边对 求导得 因为 因而必有 代入得 即有 即说明 和 线性 无关. 定理给出了求解方程 的通解的一种方法. 例 求解方程组 解 系数矩阵 A 的特征方程为 因此矩阵 A 有单特征根 和二重根 对 ，有特征向量 有特征向量 满足方程 方程有解 定理 设 矩阵A有一 重特征根 重数 且其相应的特征子空间是一维的， 是该 特征子空间的一个基，则一定存在向量 满足 而且对 也一定存在 满足 是齐次线性方程组的三个线性无关的解. 例 求解方程组 解 系数矩阵A的特征方程为 对应的特征向量 可取 这里 满足方程组 解该方程组， 取 这里 满足方程 解该方程组， 取 三个解 线性无关。 存在不全为零常数 和 以及向量 满足 定理 设 矩阵 A 有一 重特征根 重数 且其对应的特征子空间的维数为2， 有两个线性无关的特征向量 和 ， 使得 是 方程的三个线性无关的解. 例 求解方程组 解 系数矩阵A的特征方程为 对应的特征向量 方程组有解的充要条件是 选取 三 矩阵指数函数的定义和性质 设A是 常数矩阵,定义矩阵指数函数 其中E为n阶单位矩阵, 是矩阵A的k 次幂. 必须证明矩阵级数是收敛的. 事实上,对一切正整数k,有 所以矩阵级数是收敛的. 而数项级数 是收敛的, 可以证明右端在任何有限区间上都是一致收敛的. 矩阵指数函数有下面的性质： 1 若矩阵A和B是可交换的,即AB=BA,则 定义矩阵指数函数 2 对任何矩阵 存在,且 3 若T是非奇异矩阵,则 定理 6 矩阵 是方程组 的基解矩阵. 证明 所以 是方程组 的基解矩阵. 方程组的通解为 这里c是一个常数向量. 定理 6 矩阵 是方程组 的基解矩阵. 方程组 的特解? 满足初始条件 若 是方程组的另外一个与 不同的基解矩阵,则存在非 奇异常数矩阵C满足 令