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第二节 芝诺悖论与无限 一、什么是悖论 悖论:从“正确”的前提出发,经过“正确”的逻辑推理,得出荒谬的结论。 例如:“甲是乙”与“甲不是乙”这两个命题中总有一个是错的;但“本句话是七个字”与“本句话不是七个字”又均是对的,这就是悖论。 再如:“万物皆数”学说认为“任何数都可表为整数的比”;但以1为边的正方形的对角线之长却不能表为整数的比,这也是悖论。 二、芝诺悖论 芝诺(前490?—前430?)是(南意大利的)爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说:“多”和“变”是虚幻的,不可分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的;运动只是假象。于是他设计了四个例证,人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看其中的一个悖论。 1. 四个芝诺悖论之一: 阿基里斯追不上乌龟。 2. 症结: 无限段长度的和,可能是有限的; 无限段时间的和,也可能是有限的。 3. 芝诺悖论的意义: 1)促进了严格、求证数学的发展 2)较早的“反证法”及“无限”的思想 3)尖锐地提出离散与连续的矛盾: 空间和时间有没有最小的单位? 三、“有无限个房间”的旅馆 1. “客满”后又来1位客人 1 2 3 4 ┅ k ┅ ↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ ┅ 2 3 4 5 ┅ k+1 ┅ 空出了1号房间 2. 客满后又来了一个旅游团,旅游团 中有无穷个客人 1 2 3 4 ┅ k ┅ ↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ ┅ 2 4 6 8 ┅ 2k ┅ 空下了奇数号房间 3. 客满后又来了一万个旅游团,每个团中都有无穷个客人 1 2 3 4 ┅ k ┅ ↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ ┅ 10001 20002 30003 40004 ┅ 10001×k ┅ 给出了一万个、又一万个的空房间 4. [思] 该旅馆客满后又来了无穷个旅游团,每个团中都有无穷个客人,还能否安排? 四、无限与有限的区别和联系 1. 区别 1) 在无限集中,“部分可以等于全体”(这是无限的本质),而在有限的情况下, 部分总是小于全体。 当初的伽利略悖论,就是因为没有看到 “无限”的这一个特点而产生的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … n … ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 … n2 … [ 该两集合:有一一对应,于是推出两集合的元素个数相等;但由“部分小于全体”,又推出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。] 伽利略(Galileo Galilei,1564-1642),意大利物理学家、天文学家和哲学家,近代实验科学的先驱者。 2.) “有限”时成立的许多命题,对“无限”不再成立 (1)实数加法的结合律 在“有限”的情况下,加法结合律 成立: (a+b)+c = a+(b+c) , a,b, c 在“无限”的情况下,加法结合律不再成立。如 有限半群若满足消去律则一定是群。 √ 无
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