上海高二数学矩阵与运算(有详细答案)精品.doc

第 PAGE 2 页 上海版高二上数学 矩阵及其运算 一．初识矩阵 （一）引入： 引例1：已知向量，如果把的坐标排成一列，可简记为； 引例2：2008年北京奥运会奖牌榜前三位成绩如下表： 奖项 国家（地区） 金牌 银牌 铜牌 中国 51 21 28 美国 36 38 36 俄罗斯 23 21 28  我们可将上表奖牌数简记为：； 引例3：将方程组中未知数的系数按原来的次序排列，可简记为；若将常数项增加进去，则可简记为：。 （二）矩阵的概念 1、上述形如、、、这样的矩形数表叫做矩阵。 2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量称为列向量；由个行向量与个列向量组成的矩阵称为阶矩阵，阶矩阵可记做，如矩阵为阶矩阵，可记做；矩阵为阶矩阵，可记做。有时矩阵也可用、等字母表示。 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个阶矩阵中的第（）行第（）列数可用字母表示，如矩阵第3行第2个数为。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如为一个阶零矩阵。 5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有行（列），可称此方阵为阶方阵，如矩阵、均为三阶方阵。在一个阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵为2阶单位矩阵，矩阵为3阶单位矩阵。 6、如果矩阵与矩阵的行数和列数分别相等，那么与叫做同阶矩阵；如果矩阵与矩阵是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵与矩阵叫做相等的矩阵，记为。 7、对于方程组中未知数的系数按原来的次序排列所得的矩阵，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵叫做方程组的增广矩阵。 （三）、应用举例： 例1、下表是我国第一位奥运会射箭比赛金牌得主张娟娟与对手韩国选手朴成贤在决赛中的各阶段成绩表： 各阶段 姓名 第1组 第2组 第3组 第4组 总成绩 张娟娟 26 27 29 28 110 朴成贤 29 26 26 28 109 （1）将两人的成绩各阶段成绩用矩阵表示； （2）写出行向量、列向量，并指出其实际意义。 例2、已知矩阵且，求、的值及矩阵。 例3、写出下列线性方程组的增广矩阵： （1）； （2） 例4、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组： （1） （2） 例5、已知矩阵为单位矩阵，且，求的值。 （四）、课堂练习： 1、请根据游戏“剪刀、石头、布”的游戏规则，作出一个阶方阵（胜用1表示，输用 表示，相同则为0）。 2、奥运会足球比赛中国队所在C组小组赛单循环比赛结果如下： 中国平新西兰1∶1 巴西胜比利时1∶0 中国负比利时0∶2 巴西胜新西兰5∶0 中国负巴西0∶3 比利时胜新西兰0∶1 （1）试用一个4阶方阵表示这4个队之间的净胜球数；（以中国、巴西、比利时、新西兰为顺序排列） （2）若胜一场可得3分，平一场得1分，负一场得0分，试写出一个4阶方阵表示各队的得分情况；（排列顺序与（1）相同） （3）若最后的名次的排定按如下规则：先看积分，同积分看净胜球，试根据（1）、（2）两个矩阵确定各队名次。 二、矩阵的三种基本变换 （一）、复习引入： 引例、根据下列增广矩阵，写出其对应的线性方程组，并分析这些增广矩阵所对应线性方程组解的关系，从中你能得到哪些启发？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） （二）、矩阵的三种基本变换新课讲解： 通过上面练习，我们可以发现以下三个有关线性方程组的增广矩阵的基本变换： （1）互换矩阵的两行； （2）把某一行同乘（除）以一个非零的数； （3）某一行乘以一个数加到另一行。 显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。 （三）、应用举例： 例1、已知每公斤五角硬币价值132元，每公斤一元硬币价值165元，现有总重量为两公斤的硬币，总数共计462个，问其中一元与五角的硬币分别有多少个？（来自网上“新鸡兔同笼问题”） 例2、用矩阵变换的方法解三元一次方程组的解。 例3、运用矩阵变换方法解方程组：（、为常数） 说明：（1）符合情况ⅰ）时，方程组有唯一解，此时两个线性方程所表示的直线相交； （2）符合情况ⅱ）时，两个线性方程所表示的直线平行，此时方程组无解； （3）符合情况ⅲ）时，两个线性方程所表示的直线重合，此时方程组有无穷多解。 （四）、课堂练习： 用矩阵变换方法解下列问题： （1）若方程组的解与相等，求的