高中数学函数定义域,值域解题方法纳.doc

PAGE PAGE 10 函数的三要素： 对应法则、定义域、值域 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。 例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？ 1． 解：不是同一函数，定义域不同 2。 解：不是同一函数，定义域不同 3。 解：不是同一函数，值域不同 4． 解：是同一函数 5． 解：不是同一函数，定义域、值域都不同 关于复合函数 　　设 f(x)=2x?3 g(x)=x2+2 则称 f[g(x)]（或g[f(x)] f[g(x)]=2(x2+2)?3=2x2+1 g[f(x)]=(2x?3)2+2=4x2?12x+11 例：已知：f(x)=x2?x+3 求：f() f(x+1) 解：f()=()2?+3 f(x+1)=(x+1)2?(x+1)+3=x2+x+3 1. 函数定义域的求法 ??分式中的分母不为零； ??偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ??指数式的底数大于零且不等于一； ??对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ??正切函数 ??余切函数 ??反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理) 函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是， 函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ， 函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是， 函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) . 注意， 复合函数的定义域。 如：已知函数的定义域为（1，3），则函数的定义域。 函数的定义域为,函数的定义域为, 则函数的定义域为，解不等式，最后结果才是 3.这里最容易犯错的地方在这里： 已知函数的定义域为(1,3),求函数的定义域；或者说，已知函数的定义域为(3,4), 则函数的定义域为______? 一、复合函数的构成 设是到的函数，是到上的函数，且，当取遍中的元素时，取遍，那么就是到上的函数。此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数。 说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。 ⑵称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。 ⑶与表示不同的复合函数。． 例2： ⑴若函数的定义域是[0，1]，求的定义域； ⑵若的定义域是[-1，1]，求函数的定义域； ⑶已知定义域是，求定义域． 要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的． 解答： ⑴　函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数． 函数的定义域是[0，1]， ∴B=[0,1]，即函数的值域为[0，1]． ∴，∴，即， ∴函数的定义域[0，]． ⑵　函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数． 的定义域是[-1，1]， ∴A=[-1,1]，即-1， ∴,即的值域是[-3，1]， ∴的定义域是[-3，1]． 要点2：若已知的定义域为，则的定义域就是不等式的的集合；若已知的定义域为，则的定义域就是函数 的值域。 ⑶　函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数． 的定义域是[-4，5), ∴A=[-4,5)即，∴即的值域B=[-1，8） 又是由到上的函数与B到C上的函数复合而成的函数，而,从而的值域 ∴ ∴ ∴ ∴的定义域是[1，）． 例4：已知函数, 求的值域。 分析：令，； 则有， 复合函数是由与复合而成，而，的值域即的值域，但的本身定义域为,其值域则不等于复合函数的值域了。 2．求有关复合函数的解析式， 例6．①已知 求； ②已知 ，求． 例7．①已知 ，求； ②已知，求． 要点3： 已知求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。 已知求的常用方法有：配凑法和换元法。 配凑法就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换成而得。 换元法就是先设，从中解出（即用表示），再把（关于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接换成即得，这种代换遵循了同一函数的原则。 例8．①已知是一次函数，满足，求； ②已知，求． 要点4： ⑴ 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。 ⑵ 若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法 求函数的解析式。已知满足某个等式，这个等式除是未知量外，还出现其他未知量，如、等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出。 三、总结： １．复合函数