数学空间向量与数学空间角练习题.doc

课时作业(二十) eq \a\vs4\al([学业水平层次]) 一、选择题 1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为(　　) A．30° B．150° C．30°或150° D．以上均不对 【解析】　l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).应选A. 【答案】　A 2．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为(　　) A.eq \f(5\r(22),66) B．－eq \f(5\r(22),66) C.eq \f(5\r(22),22) D．－eq \f(5\r(22),22) 【解析】　eq \o(AB,\s\up12(→))＝(2，－2，－1)，eq \o(CD,\s\up12(→))＝(－2，－3，－3)， ∴cos〈eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(CD,\s\up12(→))〉＝eq \f(\o(AB,\s\up12(→))·\o(CD,\s\up12(→)),|\o(AB,\s\up12(→))||\o(CD,\s\up12(→))|)＝eq \f(5,3×\r(22))＝eq \f(5\r(22),66)， ∴直线AB、CD所成角的余弦值为eq \f(5\r(22),66). 【答案】　A 3．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【解析】　如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1.则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．于是eq \o(AD,\s\up12(→))＝(0,1,0)． 取PD中点为E， 则Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))， ∴eq \o(AE,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))， 易知eq \o(AD,\s\up12(→))是平面PAB的法向量，eq \o(AE,\s\up12(→))是平面PCD的法向量，∴coseq \o(AD,\s\up12(→))，eq \o(AE,\s\up12(→))＝eq \f(\r(2),2)， ∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°. 【答案】　B 4．(2014·陕西师大附中高二检测)如图3-2-29，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCD—A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E、F分别为C1D1、A1B的中点，则二面角B1-A1B-E的余弦值为(　　) 图3-2-29 A．－eq \f(\r(3),3) B．－eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),2) 【解析】　设AD＝1，则A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因为E、F分别为C1D1、A1B的中点，所以E(0,1,2)，F(1,1,1)，所以eq \o(A1E,\s\up12(→))＝(－1,1,0)，eq \o(A1B,\s\up12(→))＝(0,2，－2)，设m＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(A1E,\s\up12(→))·m＝0，,\o(A1B,\s\up12(→))·m＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,2y－2z＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝z，))取x＝1，则y＝z＝1，所以平面A1BE的一个法向量为m＝(1,1,1)，又DA⊥平面A1B1B，所以eq \o(DA,\s\up12(→))＝(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量，所以cos〈m，eq \o(DA,\s\up12(→))〉＝eq \f(m·\o(DA,\s\up12(→)),|m||\o(DA,\s\up12(→))|)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，又二面角B1-A1B-E为锐二面角，所以二面角B1-A1B-E的余弦值为eq \f(\r(3),3)，故选C. 【答案】　C 二、填空题 5．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是________． 【解析】　依题意，建立如图所示的坐标系，则A(