均值不等式求最值常用技巧与习题(含解答经典).doc

PAGE 1 利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若，则 (当且仅当时取“=”）;若，则 (当且仅当 _____________时取“=”） 若，则 (当且仅当____________时取“=”） 2.若，则 (当且仅当____________时取“=”） 若，则 (当且仅当_________时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知，且满足，则xy的最大值为 ________。 解：因为x0，y0，所以(当且仅当，即x=6，y=8时取等号)，于是，，故xy的最大值3. 变式：若，求的最小值.并求x,y的值 解：∵ 即xy=16 当且仅当x=y时等号成立 技巧二：配凑项求 例2：已知，求函数的最大值。 解：， 当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。 例3. 当时，求的最大值。 解： 当，即x＝2时取等号 当x＝2时，的最大值为8。 变式：设，求函数的最大值。 解：∵∴∴ 当且仅当即时等号成立。 例4. 求的值域。 解： 当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。 练习：1、已知，求函数的最大值.； ，求函数 技巧三：“1”的巧妙利用（常数代换） 错解：，且， 故 。 错因：解法中两次连用基本不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解：， 当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。 变式： （1）若且，求的最小值 已知且，求的最小值 2：已知，且，求的最小值。 (3) 设若的最小值为（　　）． A ．8 B ．4 C． 1 D． 解析：因为，所以。 又所以，当且仅当即时取“=”。故选（Ｂ）． 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。 解：令，则 因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。 因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。 所以，所求函数的值域为。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1） （2） (3) 的最大值. 技巧六、已知x，y为正实数，且x 2＋ eq \f(y 2,2) ＝1，求x eq \r(1＋y 2) 的最大值. 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤ eq \f(a 2＋b 2,2) 。 同时还应化简 eq \r(1＋y 2) 中y2前面的系数为 eq \f(1,2) ， x eq \r(1＋y 2) ＝x eq \r(2· eq \f(1＋y 2,2) ) ＝ eq \r(2) x· eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(y 2,2) ) 下面将x， eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(y 2,2) ) 分别看成两个因式： x· eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(y 2,2) ) ≤ eq \f(x 2＋( eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(y 2,2) ) )2,2) ＝ eq \f(x 2＋ eq \f(y 2,2) ＋ eq \f(1,2) ,2) ＝ eq \f(3,4) 即x eq \r(1＋y 2) ＝ eq \r(2) ·x eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(y 2,2) ) ≤ eq \f(3,4) eq \r(2) 技巧七：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ eq \f(1,ab) 的最小值. 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。 法一：a＝ eq \f(30－2b,b＋1) ， ab＝ eq \f(30－2b,b＋1) ·b＝ eq \f(－2 b 2＋30b,b＋1) 　　　由a＞0得，0＜b＜15 　　　令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝ eq \f(－2t 2＋34t－31,t) ＝－2（t＋ eq \f(16,