求函数值域题型和方法.doc

求函数值域的7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1．定义：在函数中，与自变量x的值对应的因变量y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合； ②当函数用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合； ③当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域： 1.一次函数的值域为R. 2.二次函数，当时的值域为，当时的值域为.， 3.反比例函数的值域为. 4.指数函数的值域为. 5.对数函数的值域为R. 6.正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一：一次函数的值域（最值） 1、一次函数： 当其定义域为，其值域为； 2、一次函数在区间上的最值，只需分别求出，并比较它们的大小即可。若区间的形式为或等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二：二次函数的值域（最值） 1、二次函数， 当其 定义域为时，其值域为 2、二次函数在区间上的值域(最值) 首先判定其对称轴与区间的位置关系 （1）若,则当时，是函数的最小值，最大值为中较大者；当时，是函数的最大值，最大值为中较小者。 （2）若,只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值。 特别提醒： ①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②若给定的区间形式是等时，要结合图像来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 例1：已知 的定义域为，则的定义域为 。 例2：已知，且，则的值域为 。 题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数的定义域为，值域为 2、形如：的值域： （1）若定义域为时，其值域为 （2）若时，我们把原函数变形为，然后利用（即的有界性），便可求出函数的值域。 例3：函数的值域为 ；若时，其值域为 。 例4：当时，函数的值域 。 （2）已知，且，则的值域为 。 例5：函数的值域为 ；若，其值域为 。 题型四：二次分式函数的值域 一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在；③分子、分母必须是既约分式。 例6：； 例7：； 例8：； 例9：求函数的值域 解：由原函数变形、整理可得： 求原函数在区间上的值域，即求使上述方程在有实数解时系数的取值范围 当时，解得： 也就是说，是原函数值域中的一个值 …① 当时，上述方程要在区间上有解， 即要满足或 解得： ……② 综合①②得：原函数的值域为： 题型五：形如的值域 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题，然后求其值域。 例10： 求函数在时的值域 题型六：分段函数的值域： 一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。 例11： 例12： 题型七：复合函数的值域 对于求复合函数的值域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。 例13： 例14： 四、函数值域求解的十六种求法 （1）直接法（俗名分析观察法）： 有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量的范围出发，推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。 例1：已知函数，，求函数的值域。 例2：求函数的值域。 例3：求函数的值域。 例4：求函数的值域。 （2）配方法： 二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。对于形如或类的函数的值域问题，均可使用配方法。 例1．求函数的值域。 分析与解答：