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高三数学第一轮复习:抛物线的定义、性质及标准方程
【本讲主要内容】
抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质
【知识掌握】
【知识点精析】
1. 抛物线定义:
平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线,定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿,仅比值(离心率e)不同,当e=1时为抛物线,当0e1时为椭圆,当e1时为双曲线。
2. 抛物线的标准方程有四种形式,参数的几何意义,是焦点到准线的距离,掌握不同形式方程的几何性质(如下表):
其中为抛物线上任一点。
3. 对于抛物线上的点的坐标可设为,以简化运算。
4. 抛物线的焦点弦:设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,直线与的斜率分别为,直线的倾斜角为,则有,,,,,,。
说明:
1. 求抛物线方程时,若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法;若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。
2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理,能避免求交点坐标的复杂运算。
3. 解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,而且还应注意焦点弦的几何性质。
【解题方法指导】
例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为轴,且与圆相交的公共弦长等于,求此抛物线的方程。
解析:设所求抛物线的方程为或
设交点(y10)
则,∴,代入得
∴点在上,在上
∴或,∴
故所求抛物线方程为或。
例2. 设抛物线的焦点为,经过的直线交抛物线于两点,点在抛物线的准线上,且∥轴,证明直线经过原点。
解析:证法一:由题意知抛物线的焦点
故可设过焦点的直线的方程为
由,消去得
设,则
∵∥轴,且在准线上
∴点坐标为
于是直线的方程为
要证明经过原点,只需证明,即证
注意到知上式成立,故直线经过原点。
证法二:同上得。又∵∥轴,且在准线上,∴点坐标为。于是,知三点共线,从而直线经过原点。
证法三:如图,
设轴与抛物线准线交于点,过作,是垂足
则∥∥,连结交于点,则
又根据抛物线的几何性质,
∴
因此点是的中点,即与原点重合,∴直线经过原点。
评述:本题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法,证法三为几何法,充分运用了抛物线的几何性质,数形结合,更为巧妙。
【考点突破】
【考点指要】
抛物线部分是每年高考必考内容,考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质,多出现在选择题和填空题中,主要考查基础知识、基础技能、基本方法,分值大约是5分。
考查通常分为四个层次:
层次一:考查抛物线定义的应用;
层次二:考查抛物线标准方程的求法;
层次三:考查抛物线的几何性质的应用;
层次四:考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。
解决问题的基本方法和途径:待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。
【典型例题分析】
例3. (2006江西)设为坐标原点,为抛物线的焦点,为抛物线上一点,若,则点的坐标为( )
A. B.
C. D.
答案:B
解析:解法一:设点坐标为,则
,
解得或(舍),代入抛物线可得点的坐标为。
解法二:由题意设,则,
即,,求得,∴点的坐标为。
评述:本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。
例4. (2006安徽)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为( )
A. -2 B. 2 C. -4 D. 4
答案:D
解析:椭圆的右焦点为,所以抛物线的焦点为,则。
评述:本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系。
【达标测试】
一. 选择题:
1. 抛物线的准线方程为,则实数的值是( )
A. B. C. D.
2. 设抛物线的顶点在原点,其焦点在轴上,又抛物线上的点,与焦点的距离为4,则等于( )
A. 4 B. 4或-4 C.
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