高考圆锥曲线中定点与定值问题(题型总结超全).doc

PAGE 1 专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题 一、解答题 1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标. 【答案】（1）（2） 【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得 。设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。 解得。 ∴椭圆的标准方程为. （Ⅱ）证明： 由题意设直线的方程为， 由消去y整理得， 设，， 要使其为定值，需满足， 解得. 故定点的坐标为. 点睛：解析几何中定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意． 2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为的直线经过点与抛物线（为常数）交于不同的两点，当时，弦的长为. （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线交抛物线于另一点，且直线经过点，判断直线是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）;（2）直线过定点 【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案；（2）由（1）可设，则， 则； 同理： . 由在直线上（1）； 由在直线上将（1）代入 （2） 将（2）代入方程，即可得出直线过定点． （2）设，则， 则即； 同理： ； . 由在直线上，即（1）； 由在直线上将（1）代入 （2） 将（2）代入方程，易得直线过定点 3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线过点， 是上一点，斜率为的直线交于不同两点（不过点），且的重心的纵坐标为. （1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标； （2）记直线的斜率分别为，求的值. 【答案】（1）方程为;其焦点坐标为（2） 【解析】试题分析;（1）将代入，得，可得抛物线的方程及其焦点坐标； （2）设直线的方程为，将它代入得，利用韦达定理，结合斜率公式以及的重心的纵坐标，化简可 的值； 因为的重心的纵坐标为， 所以，所以，所以， 所以， 又 . 所以. 4．已知椭圆的短轴端点到右焦点的距离为2． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，若， ，求证： 为定值． 【答案】(1) ;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明. （Ⅱ）由题意直线过点，且斜率存在，设方程为, 将代人得点坐标为， 由，消元得， 设， ，则且， 方法一：因为，所以. 同理，且与异号， 所以 . 所以， 为定值. 当时，同理可得. 所以， 为定值. 同理，且与异号， 所以　 　　　　　　　　 　. 又当直线与轴重合时， ， 所以， 为定值. 【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线过点，在设方程时，往往设为 ，可减少讨论该直线是否存在斜率. 5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线： ， 为的焦点，过的直线与相交于两点. （1）设的斜率为1，求； （2）求证： 是一个定值. 【答案】(1) （2）见解析 【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出； （2）证明：设直线的方程为， 由得 ∴， ， ∵， ， ∴是一个定值. 点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物