均值定理一.ppt

对任意正实数a、b,有 因此 ≥ 等号成立 对于两个正实数a、b，我们把 叫做a与b的 ，把 叫做a与b的 . 算术平均数 几何平均数 讲授新课 两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数，即对于任意两个正实数a、b，有 ≥ 当且仅当 a=b时，等号成立. 这个结论称为 均值定理 变式（2） ≥ 当且仅当 a=b时，等号成立. 由a0、b0时， 得 变式（1） （积定和小） （和定积大） 例1.已知a0,b0，且ab=16，求a+b的最小值. 解：由a0,b0根据均值定理，得 当且仅当a=b，即a=4时， 等号成立 所以a+b的最小值为8. 一正 二定 三相等 结论 应用举例 例2.已知a0,b0，且a+b=6，求ab的最大值. 解：由a0,b0根据均值定理，得 当且仅当a=b，即 所以ab的最大值为9. a=3时等号成立 一正 二定 三相等 一正：函数式中各项必须都是正数; 二定：函数式中含变数的各项的和或积必须是 定值； 三相等：等号成立条件必须存在. 均值定理必须满足的条件： 总结 练习巩固 1、已知a0,b0，且ab=49，求a+b的最小值。 2、已知a0,b0，且a+b=10，求ab的最大值。 拓展延伸 1、求证：对于任意正实数 ，有 当且仅当 时成立. 2、求 的最小值，并求出 相应 的值. 1、用一根长为20cm的铁丝，围成一个矩形小框，长与宽各为多少时，面积最大？ 思考题 2、为了围成一个面积为49 的矩形小框，至少要用多长的铁丝？ 1、解：设围成的矩形的长与宽分别为x cm、y cm. 答：矩形的长与宽都等于5cm时，面积最大，达到25 . 等号成立当且仅当 时, 由已知条件得，x+y= . 据均值定理得 取最大值25. 2、解：设围成的矩形的长与宽分别为xcm、ycm. 答：至少要用28cm长的铁丝. 等号成立当且仅当x=y= =7, 由已知条件得，xy= 49 . 据均值定理得 此时x+y 达到最小值14，从而2(x+y)达到最小值2×14=28. 小结 1、对于任意两个正实数a、b, 称为算术平均数， 称为几何平均数 ，且 ，当且仅当a=b时， 等号成立. 3、均值定理必须满足： 一正：函数式中各项必须都是正数; 二定：函数式中含变数的各项的和或积必须是定值； 三相等：等号成立条件必须存在. 2、变式应用： 1、已知a0,b0，且ab=25，求a+b的最小值. 2、已知a0,b0，且a+b=8，求ab的最大值. 作业 3、求 的最小值，并求相应x的值. ※ 均 值 定 理 授课教师： 严 抒 授课班级：高一（10）、（11） （1）若a0，则 _____ （2）若a0且b0,则 ______ （3）用作差法证明不等式的步骤： 1、作差 2、变形（与0比较) 3、定号 一个矩形的长为a，宽为b，画两个正方形，要求第一个正方形的面积与矩形的面积相同，第二个正方形的周长与矩形的周长相同.问哪个正方形的面积大？ S=ab C=2(a+b) (1) (2) 探究新知 第一个正方形的面积是ab,可得边长为 . 第二个正方形的周长为2(a+b)，边长为 . 我们要比较两个正方形面积的大小，只需要比较两个正方形的边长哪个长？