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椭 圆
一、直线与椭圆问题的常规解题方法:
1.设直线与方程;(提醒: = 1 \* GB3 ①设直线时分斜率存在与不存在; = 2 \* GB3 ②设为y=kx+b与x=my+n的区别)
2.设交点坐标;(提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”)
3.联立方程组;
4.消元韦达定理;(提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单)
5.根据条件重转化;常有以下类型:
= 1 \* GB3 ①“以弦AB为直径的圆过点0”(提醒:需讨论K是否存在)
= 2 \* GB3 ②“点在圆内、圆上、圆外问题”
“直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”等;
= 3 \* GB3 ③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系(或);
= 4 \* GB3 ④“共线问题”
(如: 数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法);
(如:A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等);
= 5 \* GB3 ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系;
= 6 \* GB3 ⑥“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式的合理选择);
6.化简与计算;
7.细节问题不忽略; = 1 \* GB3 ①判别式是否已经考虑; = 2 \* GB3 ②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.
二、基本解题思想:
1、“常规求值”问题:需要找等式,“求范围”问题需要找不等式;
2、“是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解;
3、证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明,
求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决;
6、转化思想:有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验;
椭圆中的定值、定点问题
一、常见基本题型:
在几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式是恒定的。
(1)直线恒过定点问题
1、已知点是椭圆上任意一点,直线的方程为,直线过P点与直线垂直,点M(-1,0)关于直线的对称点为N,直线PN恒过一定点G,求点G的坐标。
2、已知椭圆两焦点、在轴上,短轴长为,离心率为,是椭圆在第一象限弧上一点,且,过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。(1)求P点坐标;(2)求证直线AB的斜率为定值;
3、已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点 , 求证:为定值.[
4、 在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直线于点.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)若?,求证:直线过定点;
椭圆中的取值范围问题
一、常见基本题型:
对于求曲线方程中参数范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式,通过解不等式求得参数的范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来解.
(1)从直线和二次曲线的位置关系出发,利用判别式的符号,确定参数的取值范围。
5、已知直线与轴交于点,与椭圆交于相异两点A、B,且,求的取值范围.
利用题中其他变量的范围,借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范围.
6、已知点,,若动点满足.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)设过点的直线交轨迹于,两点,若,求直线的斜率的取值范围.[来源
(3)利用基本不等式求参数的取值范围
7、已知点为椭圆:上的一动点,点的坐标为,求的取值范围.
8.已知椭圆的一个顶点为,焦点在轴上.若右焦点到直线的距离为3.(1)求椭圆的方程.
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点.当时,求的取值范围.
9. 如图所示,已知圆为圆上一动点,点在上,点在上,且满足的轨迹为曲线.
(I)求曲线的方程;
(II)若过定点F(0,2)的直线交曲线于不同的两[来源:学科网ZXXK]
点(点在点之间),且满足,
求的取值范围.
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