数学空间向量在立体几何中应用.doc

eq \a\vs4\al(第七节　空间向量在立体几何中的应用) [备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.理解直线的方向向量与平面的法向量． 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系． 3.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)． 4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 1.高考中很少考查直线的方向向量，而平面法向量则多渗透在解答题中考查． 2.利用向量法证明有关线、面位置关系，在高考有所体现，如2012年陕西T18，可用向量法证明． 3.高考对空间向量及应用的考查，多以解答题形式考查，并且作为解答题的第二种方法考查，如2012年北京T16，天津T17等. [归纳·知识整合] 1．两个重要向量 (1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量． [探究]　1.在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？ 提示：给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标． 2．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2. l1∥l2 n1∥n2?n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2?n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m?m·n＝0 l⊥α n∥m?n＝λm 平面α、β的法向量分别为n，m. α∥β n∥m?n＝λm α⊥β n⊥m?n·m＝0 3.两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝eq \f(|a·b|,|a||b|)(其中φ为异面直线a，b所成的角)． 4．直线和平面所成的角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝eq \f(|n·e|,|n||e|). 5．求二面角的大小 (1)如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)． [探究]　2.两向量的夹角的范围是什么？两异面直线所成角呢？直线与平面所成角呢？二面角呢？ 提示：两向量的夹角范围是[0，π]；两异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；直线与平面所成角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；二面角的范围是[0，π]，注意以上各角取值范围的区别． 6．点到平面的距离的向量求法 如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝eq \f(|·n|,|n|). [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)两条不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1，－1,2)，v2＝(0,2,1)，则l1与l2的位置关系是(　　) A．平行　　　　　　　　　 B．相交 C．垂直 D．不确定 解析：选C　∵v1·v2＝1×0＋(－1)×2＋2×1＝0， ∴v1⊥v2，从而l1⊥l2. 2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l?α D．l与α斜交 解析：选B　∵a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4) ∴n＝－2a，即a∥n. ∴l⊥α. 3．若平面α、β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(　　) A．α∥β B．α⊥β C．α、β相交但不垂直 D．以上均不正确 解析：选C　∵n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0，∴n1与n2不垂直，∴α与β相交但不垂直． 4．(教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________． 解析：cos〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(1,1×\r(2))＝eq \f(\r(2),2)， 即〈m，n〉＝45°，其补角为135°. ∴两平面所成的二面角为45°或135°. 答案：45°或135° 5．若平面α的一个法向量为n＝(2,1,2)，直线l的一个方向向量为a＝(－1,1,