含绝对值函数最值问题.doc

专题三: 含绝对值函数的最值问题 已知函数()，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 不等式化为 即：（*）对任意的恒成立因为，所以分如下情况讨论： ①当时，不等式（*） ②当时，不等式（*）即 由①知， 2.已知函数f(x)＝|x－a|，g(x)＝x2＋2ax＋1(a为正数)，且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等．(1)求a的值；(2)求函数f(x)＋g(x)的最值． 【解析】(1)由题意f(0)＝g(0)，∴|a|＝1.又∵a0，∴a＝1. (2)由题意f(x)＋g(x)＝|x－1|＋x2＋2x＋1. 当x1时，f(x)＋g(x)＝x2＋3x在[1，＋∞)上单调递增， 当x1时，f(x)＋g(x)＝x2＋x＋2在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))上单调递增，在(－∞，]上单调递减． 因此，函数f(x)＋g(x)在(－∞，]上单调递减，在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上单调递增． 所以，当x＝时，函数f(x)＋g(x)的最小值为；函数无最大值． 5.已知函数，其中． （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若不等式在上恒成立，求的取值范围． 6.设函数， （1）若，求函数的零点； （2）若函数在上存在零点，求实数的取值范围． 解：（Ⅰ）分类讨论解得：...................................................4分 （Ⅱ）函数在上存在零点，即，上有解， 令，只需..................................................5分 当时，，在递增， 所以，即...............................................................................7分 当时，，对称轴 又当 在递增，所以，即 当 在递增，递减，且所以，即 ...............................................................................................................................................10分 当时， 易知，在递增，递减，递减，所以， ， 当，，所以，即 当，，所以，即 .....................................................................................................................................................14分 综上所述：当时， 当， 当，........................................................................................15 分 7.已知函数． （I）若在区间上不单调，求的取值范围； （II）若对于任意的，存在，使得，求的取值范围． 解：……5分 （II） 解法： ……9分 ， ……………13分 且上述两个不等式的等号均为或时取到，故 故，所以……15分 、 8.已知函数． （Ⅰ）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值． 解：（1）不等式对恒成立，即（*）对恒成立， ①当时，（*）显然成立，此时； ②当时，（*）可变形为，令 因为当时，，当时，，所以，故此时. 综合①②，得所求实数的取值范围是. （2）因为=…10分 ①当时，结合图形可知在上递减，在上递增， 且，经比较，此时在上的最大值为. ②当时，结合图形可知在，上递减， 在，上递增，且，， 经比较，知此时在上的最大值为. ③当时，结合图形可知在，上递减， 在，上递增，且，， 经比较，知此时 在上的最大值为. ④当时，结合图形可知在，上递减， 在，上递增，且, ， 经比较，知此时 在上的最大值为. 当时，结合图形可知在上递减，在上递增， 故此时 在上的最大值为. 综上所述，当时，在上的最大值为； 当时， 在上的最大值为； 当时， 在上的最大值为0.