利用基本不等式求最值技巧.doc

PAGE 6 - 利用基本不等式求最值的技巧 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的功能，但一定要注意应用的前提：“一正”、“二定”、“三相等”．所谓“一正”是指“正数”，“二定”指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件． 在运用基本不等式与或其变式解题时,要注意如下技巧 1：配系数 【例1】已知，求的最大值. 2:添加项 【例2】已知，求的最小值. 3:分拆项 【例3】已知，求的最小值. 4:巧用”1”代换 【例4】已知正数满足,求的最小值. 一般地有,,其中都是正数.这里巧妙地利用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解. 【例5】已知正数满足，求的最小值. 5:换元 【例6】已知,求的最小值. 【例7】已知,求的最大值. 6:利用对称性 【例8】已知正数满足，求的最大值. 【分析】由于条件式与结论式都是关于正数轮换对称的,故最大值必然是当时取到,这时,从而得到下面证明思路与方向 【解】利用基本不等式得, ,,以上三式同向相加得,所以化简得,所以当且仅当时取到最大值. 一般地,如果条件式与结论式都是关于各个元素轮换对称的,则最值必定是在各个元素相等时取到.利用这一思想往往可给解题者提供解题的方向与思路. 7:直接运用化为其它 【例9】已知正数满足,求的取值范围. 含参不等式的解法举例 当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。 一、含参数的一元二次不等式的解法： 例1：解关于的x不等式 分析：当m+1=0时,它是一个关于x的一元一次不等式；当m+11时，还需对m+10及m+10来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m－1时，⊿=4（3－m）0，图象开口向下，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。⑵当－1m3时，⊿=4（3－m）0, 图象开口向上，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。⑶当m=3时，⊿=4（3－m）=0，图象开口向上，与x轴只有一个公共点，不等式的解为方程的根。⑷当m3时，⊿=4（3－m）0,图象开口向上全部在x轴的上方，不等式的解集为。 解： 当m=3时，原不等式的解集为； 当m3时, 原不等式的解集为。 小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确：①图象开口方向，②判别式确定解的存在范围，③两根大小。⑶二次项的取值（如取0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。 牛刀小试：解关于x的不等式 思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成。 二、含参数的分式不等式的解法： 例2：解关于x的不等式 分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对ax－1中的a进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。 解：原不等式等价于 当=0时，原不等式等价于 解得，此时原不等式得解集为{x|}； 当0时, 原不等式等价于, 则：当原不等式的解集为； 当0原不等式的解集为； 当原不等式的解集为； 当0时, 原不等式等价于， 则当时, 原不等式的解集为； 当时, 原不等式的解集为； 当时, 原不等式的解集为； 小结：⑴本题在分类讨论中容易忽略=0的情况以及对，－1和2的大小进行比较再结合系轴标根法写出各种情况下的解集。⑵解含参数不等式时，一要考虑参数总的取值范围，二要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏，三要使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。⑶对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段，把不等号一边化为0，再转化为乘积不等式来解决。 牛刀小试：解关于x的不等式 思路点拨：将此不等式转化为整式不等式后需对参数分两级讨论：先按1和1分为两类，再在1的情况下，又要按两根与2的大小关系分为三种情况。有很多同学找不到分类的依据，缺乏分类讨论的意识，通过练习可能会有所启示。具体解答请同学们自己完成。 三、含参数的绝对值不等式的解法： 例3：解关于x的不等式 分析：解绝对值不等式的思路是去掉绝对值符号，本题要用到同解变形，首先将原不等式化为不含绝对值符号的不等式，然后就、两个参数间的大小关系分类讨论求解。 解： 当时， 此时原不等式的解集为； 当时，由， 此时原不等式的解集为； 当时， 此时此时原不等式的解集为； 综上所述