列数学关系式解决应用性问题的关键是读题.PPT

第五讲 利用导数证明不等式 证明不等式 证明方程根的个数 导数的应用 1、把长60cm的铁丝围成矩形，长宽各为多少时矩形面积最大？ 2、把长为100cm的铁丝分为两段，各围成正方形，怎样分法才能使两个正方形面积之和最小？ * * (1)利用导数证明不等式 利用导数证明不等式是常考的题型.主要的方法有: 1 利用微分中值定理; 2 利用函数的单调性; 3 利用极值(或最值); 10 利用微分中值定理 若函数f(x)有一二阶导数,而要证的不等式的两端含有 f(x) 的函数值,特别是f(x)的表达式不知道时,或不等式中含有 f(x)的导数时,常用拉格朗日中值定理证. 例1 证明不等式 证明：把lna乘以各式,得到 区间[1/(n+1),1/n]上的增量,可以对f(x)使用拉格朗日中值定理,有 f(b)-f(a)=f ’(ξ)(b-a) 因为 是函数f(x)=ax 在 20 利用函数的单调性 当要证的不等式两端是给定的两个表达式,或不等式一端 或两端含f(x),且知道f’(x)0(或f”(x)0)则常需要用单调性证. 解：:为证不等式,只要证 例2 当x0时,证明不等式 其辅助函数为 所以当x0时,f(2)(x)严格单调增加,即f”(x)f”(0) (x0) 从而 f’(x)严格单调增加,于是当x0时f’(x)f’(0)=0 30 利用函数的极值与最值 例3 对任意实数x,证明不等式 (2)证明某些等式 利用导数证明等式常用10罗尔定理(要证明某个函数或 一个式子等于0或其导数等于0时).20拉格朗日定理. 若函数f(x)有一二阶导数,而要证 的等式的两端含有f(x)的函数值,特别是f(x)的表达式不知道时,或等式中含有f(x)的导数时,常用拉格朗日中值定理证. 关键是建立辅助函数: 通常用移项(把等式一端的项全移 到另一端) 或把等式变形,或变形后再移项或变形后用逆推的方法. (3).证明方程的根的存在性与个数 方程的根可以看成函数的零点,为了利用函数的连续性质 及导数理论,通常把方程的根的讨论转化为函数的零点讨 论.关于方程根的证明,主要有两种情况 (1)证明方程在某区间内至少有一个或几个根 1.利用介值定理证明方程根的存在性 例4 由介值定理可知道f(x)在(0,e)(e,+∞)内各有一个根. x y Y=lnx 1 2.利用罗尔定理证明方程根的存在性 这个方法是作一个在指定区间上满足罗尔定理条件的辅 助函数, 把根的存在性转化为该辅助函数的导函数的零点 的存在性. 例12 设实数a0 , a1 ,a2,a3,…an,满足关系式 证明 方程a0+a1x+a2x2+…+anxn=0 在(0,1)内 至少有一个根. (2).证明方程在给定的区间内有唯一的根或最多有几个根 证明的步骤和方法如下: 方法有:㈠利用函数的单调增减性;㈡用反证法,通常可利 用罗尔定理,拉格朗日定理导出矛盾. 2.再证唯一性或最多有几个根. 方法有:㈠利用连续性函数的介值定理;㈡利用罗尔定理. 1.先证存在性 【解题回顾】 1.求最大（小）值应用问题的一般方法： 分析、联系、抽象、转化 数学方法 数学结果 实际结果 回答问题 实际问题 建立数学模型 （列数学关系式） 解决应用性问题的关键是读题——懂题——建立数学关系式。 2.在实际问题中，有时会遇到在区间内只有一个点 使导数为0的情形，如果函数在这点有极大(小)值， 那么不与端点的值比较，也可以知道这就是最大 (小)值。这时所说的也适用于开区间或无穷区间。 x (60-2x)/2 解：设宽为Xcm,则长为（60－2X）/2=(30-X) cm 所以面积 此时S’在x＞15时S’0,x＜15时，S’＞0 结论：周长为定值的矩形中，正方形的面积最大。 答：长为15cm,宽为15cm时面积最大。