分氢原子在t=时刻处于状态.doc

PAGE PAGE 1 量子力学自测题（15）参考答案 一、（20分）氢原子在t=0时刻处于状态 式中为氢原子的第n个能量本征态。 （1）计算归一化常数C=？ （2）计算t=0时能量的取值概率与平均值； （3）写出任意时刻t的波函数。 解 （1）利用归一化条件 可知 于是归一化后的波函数为 （2）氢原子的能量本征值为 依题意知，能量的可能取值与相应的取值概率为 ； ； ； 而能量的平均值为 （3）任意时刻t的波函数为 二、（20分）证明： （1）若一个算符与角动量算符的两个分量对易，则其必与的另一个分量对易； （2）在的共同本征态下，的平均值为零，且当M=J时，测量的不确定性之积为最小。 证明 （1）设算符与角动量算符皆对易，即 利用角动量算符各分量之间的对易关系 可知 同理可知，若算符与角动量算符皆对易，则算符必与对易，于是问题得证。 （2）在的共同本征态下，的平均值为 由升降算符的性质可知 于是有 同理可证，算符在下的平均值也为零。 在态上，算符的平均值为 同理可得 由不确定关系可知 或者写为 显然，当M=J时，上式取最小值，即 三、（20）一个质量为的粒子，在如下的三维势场中运动 求粒子的能量和相应的本征函数。 解 定态薛定谔方程为 利用分离变量法，若令 则有 上述三个方程的解已经求出，能量本征值是 其中，m、n=1,2,3…；k=0，1，2…。 相应的各分量本征函数分别为 最后，当时，粒子的本征函数为 否则为零。 四、（20分）由两个自旋为的非全同粒子构成的体系，若两个粒子的自旋分别处于 ； 的态上，求体系分别处于单态与三重态的概率。 解 依题意可知，两个粒子构成的体系处于状态 两个自旋为粒子的总自旋量子数S=0，1，其单态为 故体系处于单态的概率为 而三重态为 体系处于三重态的概率为 = 两者概率之和 五、（20）分一个质量为，角频率为的线谐振子，受到微扰的作用。 （1）用微扰论求能量的一级修正； （2）求能量的严格解，并与（1）的结果比较。 解 （1）无微扰线谐振子的哈密顿算符满足 其中 能量的一级修正为 利用公式 可以得到 能量的一维级修正为 能量近似到一级修正的结果为 （2）为了求得严格解，改写体系的哈密顿算符 若令 即 则体系的严格解为 因是一个小量，故一级近似的结果为 上式与微扰论的一级近似完全一致。