复数与拉普拉斯变换复习导论.ppt

线性定常微分方程求解（举例说明） 例6 R-C 电路计算 复习 拉普拉斯变换有关内容（1） 1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复函数 复数 例1 （2）模、相角 （3）复数的共轭 （4）解析 若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。 模 相角 欧拉公式 复平面上的一个单位圆上的点，与实轴夹角为θ时，此点可表示为 e是自然对数的底，此式称为欧拉(Euler)公式。e可以用计算方法定义为 欧拉公式与三角函数的关系 由泰勒级数展开 三角函数可表示为 同样若 展开，可得到 * 傅里叶生平 1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热的分析理论” 一书中 * 傅立叶的两个最主要的贡献—— “周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点 * 变换域分析 频域分析：－－－傅里叶变换，自变量为 j ω 复频域分析：－－－拉氏变换, 自变量为 S = ? +j ω Z域分析：－－－Z 变换，自变量为z 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的．例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算．在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一． 定义-- 傅里叶变换 若 满足傅氏积分定理条件， 称表达式 为 的傅里叶变换式,记作 ．我们 称函数 为 的傅里叶变换，简称傅氏变换 积分变换的理论方法不仅在数学的诸多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中，例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用． 复习拉普拉斯变换有关内容（2） 2 拉氏变换的定义 （1）阶跃函数 像函数 原像原函数 3 常见函数的拉氏变换 （2）指数函数 由上一节对实数和复数形式的傅里叶积分的讨论，最后我们以简洁的复数形式（即指数形式）作为傅里叶变换的定义 定义7.3.1 傅里叶变换 若 满足傅氏积分定理条件， 称表达式 （7.3.1） 为 的傅里叶变换式,记作 ．我们 称函数 为 的傅里叶变换，简称傅氏变换 复习拉普拉斯变换有关内容（3） （3）正弦函数 复习拉普拉斯变换有关内容（4） （1）线性性质 4 拉氏变换的几个重要定理 （2）微分定理 证明： 0初条件下有： 复习拉普拉斯变换有关内容（5） 例2 求 解. 例3 求 解. 复习拉普拉斯变换有关内容（6） （3）积分定理 零初始条件下有： 进一步有： 例4 求 L[t]=? 解. 例5 求 解. 复习拉普拉斯变换有关内容（7） （4）实位移定理 证明： 例6 解. 令 复习拉普拉斯变换有关内容（8） （5）复位移定理 证明： 令 例7 例8 例9 复习拉普拉斯变换有关内容（9） （6）初值定理 证明：由微分定理 例10 复习拉普拉斯变换有关内容（10） （7）终值定理 证明：由微分定理 例11 （终值确实存在时） 例12 复习拉普拉斯变换有关内容（11） 5 用拉氏变换方法解微分方程 L变换 系统微分方程 L-1变换 控制系统的数学模型 课程小结 (1) 时域模型 — 微分方程 元部件及系统微分方程的建立 线性定常系统微分方程的特点 非线性方程的线性化 微分方程求解 课程小结 (2) 1 拉氏变换的定义 （2）单位阶跃 2 常见函数L变换 （5）指数函数 （1）单位脉冲 （3）单位斜坡 （4）单位加速度 （6）正弦函数 （7）余弦函数 课程小结 (3) 3 拉氏变换重要定理 （2）微分定理 （5）复位移定理 （1）线性性质 （3）积分定理 （4）实位移定理 （6）初值定理 （7）终值定理 拉氏逆变换的数学方法 第三拉氏逆变换 拉氏逆变换的数学方法 有理函数法 部分分式法 查表法 根据拉氏逆变换公式求解。 Laplace变换表查出相应的原函。 通过代数运算将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之和。 拉氏逆变换的数学方法 只包含不相同极点的情况 1 拉氏逆变换的求解 拉氏逆变换的数学方法 只包含不相同极点的情况 1 包含多重极点的情况 2